Aproximación de la raíz de dos por su fracción continua.

Fracciones continuas y raíces cuadradas

Rafael Bombelli, matemático italiano nacido en Bolonia, ideó un procedimiento de aproximación de raíces cuadradas expuesto en el libro I de su obra L’Álgebra parte maggiore dell’aritmetica divisa in tre libri (1572).

Utilizando el simbolismo moderno, el procedimiento de Bombelli se puede esquematizar del modo siguiente:

\[\sqrt{n}=\sqrt{a^2+b}=a+\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{1}{x}=\sqrt{a^2+b}-a\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{(\sqrt{a^2+b}-a)(\sqrt{a^2+b}+a)}{\sqrt{a^2+b}+a}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b}+a}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\displaystyle\left(a+\frac{1}{x}\right)+a}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}\]

Por tanto:

\[\sqrt{n}=a+\frac{1}{x}=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}}=\]

\[=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\ldots}}}}\]

Veamos un par de ejemplos.

Si \(n=2\), entonces:

\[\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1}=1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\ldots}}}}\]

Si \(n=13\), entonces:

\[\sqrt{13}=\sqrt{3^2+4}=3+\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\ldots}}}}\]

Referencia bibliográfica

MEAVILLA, V. (2010) La sinfonía de Pitágoras. Barcelona: Editorial Almuzara S.L.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

El algoritmo de Arquímedes para el cálculo del número pi

Este artículo tiene su origen en un mensaje que por Twitter me manda @JavierGacimart1, en ...

Urano, Ceres, Gauss y las dos caras de las matemáticas

William Herschel y el descubrimiento de Urano El 13 de marzo de 1871, Wiliam Herschel ...

A %d blogueros les gusta esto: