Fracciones continuas y raíces cuadradas

Rafael Bombelli, matemático italiano nacido en Bolonia, ideó un procedimiento de aproximación de raíces cuadradas expuesto en el libro I de su obra L’Álgebra parte maggiore dell’aritmetica divisa in tre libri (1572).

Utilizando el simbolismo moderno, el procedimiento de Bombelli se puede esquematizar del modo siguiente:

\[\sqrt{n}=\sqrt{a^2+b}=a+\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{1}{x}=\sqrt{a^2+b}-a\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{(\sqrt{a^2+b}-a)(\sqrt{a^2+b}+a)}{\sqrt{a^2+b}+a}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b}+a}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\displaystyle\left(a+\frac{1}{x}\right)+a}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}\]

Por tanto:

\[\sqrt{n}=a+\frac{1}{x}=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}}=\]

\[=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\ldots}}}}\]

Veamos un par de ejemplos.

Si \(n=2\), entonces:

\[\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1}=1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\ldots}}}}\]

Si \(n=13\), entonces:

\[\sqrt{13}=\sqrt{3^2+4}=3+\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\ldots}}}}\]