Fórmulas trigonométricas

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Vamos a obtener las razones trigonométricas del ángulo suma \(\alpha+\beta\) en función de las razones trigonométricas de \(\alpha\) y de \(\beta\). Para ello usaremos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\alpha+\beta\).

En el triángulo de color rojo \(OAB\), cuya hipotenusa \(\overline{OB}\) la tomamos como unidad, se tiene claramente que:

\[\cos\beta=\overline{OA}\quad\text{;}\quad\text{sen}\,\beta=\overline{AB}\]

En el triángulo de color azul \(OPB\) tenemos que:

\[\text{sen}(\alpha+\beta)=\frac{\overline{PB}}{\overline{OB}}=\overline{PB}\qquad(\text{I})\]

Además, podemos expresar \(\overline{PB}\) como \(\overline{QA}+\overline{AC}\). También tenemos que:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{\overline{QA}}{\overline{OA}}\Rightarrow\overline{QA}=\overline{OA}\,\text{sen}\,\alpha=\cos\beta\,\text{sen}\,\alpha\]

\[\cos\alpha=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}\Rightarrow\overline{AC}=\overline{AB}\,\cos\alpha=\text{sen}\,\beta\,\cos\alpha\]

Por tanto:

\[\overline{PB}=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(\text{II})\]

Igualando \((\text{I})\) y \((\text{II})\), obtenemos:

\[\text{sen}(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

A partir de la fórmula anterior y usando que \(\text{sen}(90^{\text{o}}+\phi)=\cos\phi\), y que \(\cos(90^{\text{o}}+\phi)=-\text{sen}\,\phi\), \(\forall\,\phi\), podemos demostrar una fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos:

\[\cos(\alpha+\beta)=\text{sen}\left(90^{\text{o}}+(\alpha+\beta)\right)=\text{sen}\left((90^{\text{o}}+\alpha)+\beta\right)=\]

\[=\text{sen}(90^{\text{o}}+\alpha)\cos\beta+\cos(90^{\text{o}}+\alpha)\,\text{sen}\,\beta=\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

También podemos probar igualmente una fórmula para la tangente de la suma de dos ángulos:

\[\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{sen}(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}=\]

Dividiendo todos los términos del numerador y del denominador entre \(\cos\alpha\cos\beta\) y simplificando nos queda:

\[\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta}{1-\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\]

Hemos obtenido pues las siguientes tres fórmulas, que son las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos.

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Teniendo en cuenta que \(\text{sen}(-\phi)=-\text{sen}\,\phi\) y que \(\cos(-\phi)=-\cos\phi\), si en la primera de las fórmulas anteriores ponemos \(-\beta\) en lugar de \(\beta\) obtenemos:

\[\text{sen}(\alpha-\beta)=\text{sen}(\alpha+(-\beta))=\text{sen}\,\alpha\,\cos(-\beta)+\cos\alpha\,\text{sen}(-\beta)=\]

\[=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,(-\text{sen}\,\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

Análogamente procederíamos con \(\cos(\alpha-\beta)\) y con \(\text{tg}(\alpha-\beta)\) para obtener las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos. Las demostraciones son muy similares a la anterior.

Razones trigonométricas del ángulo doble

Si en las fórmulas \((1)\), \((2)\) y \((3)\) hacemos \(\alpha=\beta\), obtenemos las razones trigonométricas de \(2\alpha\) en función de \(\alpha\), es decir, las razones trigonométricas del ángulo doble. La demostración es obvia.

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Veremos ahora cómo se obtienen las razones trigonométricas del ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\) en función de \(\cos\alpha\).

Teniendo en cuenta que \(\alpha=2\cdot\dfrac{\alpha}{2}\), aplicando la fórmula \((8)\) tenemos:

\[\cos\alpha=\cos\left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\qquad(\text{III})\]

También es cierta la fórmula fundamental de la trigonometría para cualquier ángulo, en particular, para el ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\):

\[1=\cos^2\frac{\alpha}{2}+\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\qquad(\text{IV})\]

Sumando y restando las igualdades \((\text{III})\) y \((\text{IV})\) se obtienen las dos igualdades siguientes:

\[1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}\]

\[1-\cos\alpha=2\,\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\]

De estas igualdades se despejan, respectivamente, \(\cos\dfrac{\alpha}{2}\) y \(\text{sen}\dfrac{\alpha}{2}\). A partir de ellas se obtiene también \(\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}\). Llegamos pues así a las razones trigonométricas del ángulo mitad.

En cada caso, el signo será positivo o negativo según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\).

Sumas y diferencias de senos y de cosenos: transformación de sumas y diferencias en productos

A veces conviene expresar una suma o una diferencia en forma de producto. Vamos a deducir, por ejemplo, en qué producto se transforma la suma \(\cos A+\cos B\). Para ello nos basaremos en las fórmulas \((2)\) y \((5)\):

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

Sumando y restando las dos fórmulas anteriores obtenemos, respectivamente:

\[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\qquad(\text{V})\]

\[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(\text{VI})\]

Es conveniente cambiar la notación para facilitar los cálculos, así que llamaremos \(\displaystyle\begin{cases}\alpha+\beta=A\\\alpha-\beta=B\end{cases}\). Si en el sistema anterior despejamos \(\alpha\) y \(\beta\) tenemos que \(\alpha=\dfrac{A+B}{2}\), \(\beta=\dfrac{A-B}{2}\). Si ahora sustituimos los valores anteriores en \((\text{V})\) y \((\text{VI})\), obtenemos:

\[\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\]

\[\cos A-\cos B=-2\,\text{sen}\frac{A+B}{2}\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\]

Si se procede de manera similar utilizando las fórmulas del seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos se pueden obtener expresiones para transformar sumas y diferencias de senos en productos. De esta manera tenemos finalmente las sumas y diferencias de senos y cosenos, las cuales transforman sumas y diferencias en productos.