Examen de trigonometría y números complejos – Matemáticas I

Resuelve una de las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas las posibles soluciones:

\[\cos4x+\cos2x=\cos x\]

\[4\text{sen}\,x+2\cos2x=3\]

\[\text{cosec}\,x-\text{cotg}\,x=\sqrt{3}\]

Resuelve uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, dando las soluciones en el intervalo \([0,\,2\pi]\):

\[\begin{cases}\cos x\cdot\cos y=\text{sen}\,x\cdot\text{sen}\,y\\x-y=30^{\circ}\end{cases}\]

\[\begin{cases}y+\text{sen}^2x=2\\y+\cos^2x=1\end{cases}\]

\[\begin{cases}\cos x+\cos y=1\\ \cos 2x+\cos 2y=-1\end{cases}\]

Dado el triángulo \(ABC\), con \(a=1\) m, \(B=30^{\circ}\) y \(C=45^{\circ}\):

• Resuelve el triángulo.
• Calcula su área.

Realiza uno de los dos apartados siguientes:

• Calcula el valor de la siguiente expresión, simplificando el resultado:

\[\frac{\text{cotg}\,150^{\circ}-\text{cosec}\,315^{\circ}}{\text{sec}\,120^{\circ}-\text{tg}\,240^{\circ}}\]

• Simplifica lo que puedas la expresión:

\[\frac{\text{sen}\,\alpha+\text{sen}\,2\alpha}{1+\cos\alpha+\cos2\alpha}\]

Realiza la siguiente operación con números complejos, expresando el resultado en forma polar y trigonométrica:

\[\sqrt[5]{\frac{-8-8\sqrt{3}i}{(-2\sqrt{3}+2i)^2}}\]

Encuentra las posibles soluciones, en forma binómica, de la siguiente ecuación:

\[z^5+125z^2=0\]