En la figura de abajo se representa un triángulo cualquiera, en el que vamos a considerar sus lados como representantes de vectores libres.
Hagamos el siguiente producto escalar:
\[\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=(\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})\]
Por distributividad se puede escribir:
\[\vec{a}^2=\vec{b}^2+\vec{c}^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}\]
Por tanto, utilizando la definición de módulo de un vector y de producto escalar de dos vectores:
\[|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos{A}\]
La expresión anterior, usando la medida de los lados del triángulo, toma la forma:
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\]
Fórmula que constituye el llamado teorema del coseno, que dice:
Como caso particular del teorema del coseno, resulta el conocido teorema de Pitágoras. Cuando A=90o, el teorema del coseno se convierte en:
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos{90^o}=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot0\]
Es decir:
\[a^2=b^2+c^2\]
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