El teorema del coseno

En la figura de abajo se representa un triángulo cualquiera, en el que vamos a considerar sus lados como representantes de vectores libres.

Hagamos el siguiente producto escalar:

\[\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=(\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})\]

Por distributividad se puede escribir:

\[\vec{a}^2=\vec{b}^2+\vec{c}^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}\]

Por tanto, utilizando la definición de módulo de un vector y de producto escalar de dos vectores:

\[|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos{A}\]

La expresión anterior, usando la medida de los lados del triángulo, toma la forma:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\]

Fórmula que constituye el llamado teorema del coseno, que dice:

Como caso particular del teorema del coseno, resulta el conocido teorema de Pitágoras. Cuando A=90^o, el teorema del coseno se convierte en:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos{90^o}=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot0\]

Es decir:

\[a^2=b^2+c^2\]