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Enunciado del Teorema de Tales
El teorema de Tales dice que si dos rectas cualesquiera se cortan por una serie de rectas paralelas, los lados o segmentos homólogos son proporcionales.
\[\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}}\]
Triángulos semejantes y triángulos en posición de Tales
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales.
El teorema de Tales también se puede enunciar así: si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
En la siguiente figura tenemos un triángulo \(ABC\) y hemos trazado una paralela al lado \(BC\) formando el triángulo \(ADE\).
Dos triángulos semejantes en posición de Tales.
Entonces los triángulos \(ABC\) y \(ADE\) son semejantes y se cumple que
\[\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}\]
En realidad este es el enunciado original del teorema de Tales (o primer teorema de Tales) y en este caso se dice que los dos triángulos están en posición de Tales.
Ejercicio resuelto
Los siguientes triángulos están en posición de Tales. Calcula las longitudes \(x\) e \(y\).ç
Solución
Como los triángulos están en posición de Tales tenemos que:
\[\frac{8}{10}=\frac{3}{x}\]
Despejando \(x\):
\[8x=3\cdot10\Rightarrow8x=30\Rightarrow x=\frac{30}{8}\Rightarrow x=3,75\,\text{cm}\]
Observemos que también podríamos haber obtenido la longitud \(x\) así:
\[\frac{8}{10}=\frac{8+3}{10+x}\Rightarrow\frac{8}{10}=\frac{11}{10+x}\]
Nuevamente, despejando \(x\):
\[8(10+x)=11\cdot10\Rightarrow80+8x=110\Rightarrow8x=30\Rightarrow\]
\[\Rightarrow x=\frac{30}{8}\Rightarrow x=3,75\,\text{cm}\]
Procediendo de manera similar calcularemos la longitud de \(y\):
\[\frac{8}{8+3}=\frac{5}{y}\Rightarrow\frac{8}{11}=\frac{5}{y}\Rightarrow8y=55\Rightarrow y=\frac{50}{8}\Rightarrow y=6,875\,\text{cm}\]
También podríamos haber obtenido \(y\) así:
\[\frac{10}{10+3,75}=\frac{5}{y}\Rightarrow\frac{10}{13,75}=\frac{5}{y}\Rightarrow10y=68,75\Rightarrow\]
\[\Rightarrow y=\frac{68,75}{10}\Rightarrow y=6,875\,\text{cm}\]
Más sobre semejanza y el teorema de Tales
- En el siguiente enlace tienes otro artículo sobre semejanza y el teorema de Tales, que contiene 6 ejercicios completamente resueltos.
- Además, aquí tienes lo que dice la Wikipedia sobre el teorema de Tales.
Creo que la solución de y está mal; si son triángulos semejantes: y/5 debe ser igual a (8+3)/8 de donde se deduce y =6,875
O bien (10+3,73)/10 igual a y/5 de donde y es también 6,875;
con el valor que usted da como solución no son triángulos semejantes
Hola Ana.
¡Es cierto, llevas razón! ¡Menudo error! Has sido muy amable al decírmelo. Ya está todo arreglado.
No te imaginas lo que agradezco la colaboración de gente como tú. Esta Web contiene muchos artículos y debe de tener muchos errores, erratas u omisiones. Agradezco muchísimo a los lectores que me lo hagan saber, y así poder subsanarlos. Siento mucho que mi error haya llevado a gente a confusión.
De nuevo, muchísimas gracias y un saludo cordial.
Enhorabuena Ana, por fin, después de 20 años sin equivocarse en ningún ejercicio… Has corregido a Pedro Castro. Evidentemente, eres una crack y de la gestión de tu talento tendrás más o mucho más rédito.
Pedro: ¿Qué regalo le vas a ofrecer a Ana?
p.d: Menudo repaso!!!