El teorema de los senos

El enunciado más o menos formal del teorema de los senos es el siguiente:

Dibujando en los triángulos \(ABC\) de las figuras anteriores la altura \(h\), aparecen dos triángulos rectángulos \(CHA\) y \(CHB\), en los que se cumple (se han dibujado triángulos acutángulo y obtusángulo, en el rectángulo también se cumple):

\[\left.\begin{matrix}
h=a\cdot\text{sen}\,B\\
h=b\cdot\text{sen}\,A
\end{matrix}\right\}\Rightarrow a\cdot\text{sen}\,B=b\cdot\text{sen}\,A\Rightarrow\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}\qquad(1)\]

Si hubiéramos trabajado con la altura correspondiente al vértice \(B\), por el mismo procedimiento:

\[\frac{c}{\text{sen}\,C}=\frac{a}{\text{sen}\,A}\qquad(2)\]

Igualando (1) y (2), se obtiene:

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}=\frac{c}{\text{sen}\,C}\]

Esta es la fórmula conocida por teorema de los senos.

Ahora, en la figura siguiente, hemos dibujado la circunferencia circunscrita al triángulo anterior; luego trazamos el diámetro \(BA’\) y unimos con \(C\), formándose el triángulo \(BCA’\), que es rectángulo en \(C\) (recuerda que el ángulo \(BCA’\) es inscrito, y el arco que va de \(A’\) a \(B\) abarca \(180^{\circ}\); por tanto el ángulo \(BCA’\) vale \(180^{\circ}/2=90^{\circ}\)).

Entonces, aplicando la fórmula del teorema de los senos en el triángulo \(BCA’\), obtenemos:

\[\frac{a}{\text{sen}\,A’}=\frac{2r}{\text{sen}\,90^{o}}\Rightarrow\frac{a}{\text{sen}\,A’}=2r\]

Pero el ángulo \(A\) es igual que el ángulo \(A’\), por ser inscritos y abarcar el mismo arco \(BC\), luego:

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=2r\]

Este resultado lo incorporamos a la fórmula del teorema de los senos y resulta finalmente la expresión completa del teorema de los senos:

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}=\frac{c}{\text{sen}\,C}=2r\]