El enunciado más o menos formal del teorema de los senos es el siguiente:
Dibujando en los triángulos \(ABC\) de las figuras anteriores la altura \(h\), aparecen dos triángulos rectángulos \(CHA\) y \(CHB\), en los que se cumple (se han dibujado triángulos acutángulo y obtusángulo, en el rectángulo también se cumple):
\[\left.\begin{matrix}
h=a\cdot\text{sen}\,B\\
h=b\cdot\text{sen}\,A
\end{matrix}\right\}\Rightarrow a\cdot\text{sen}\,B=b\cdot\text{sen}\,A\Rightarrow\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}\qquad(1)\]
Si hubiéramos trabajado con la altura correspondiente al vértice \(B\), por el mismo procedimiento:
\[\frac{c}{\text{sen}\,C}=\frac{a}{\text{sen}\,A}\qquad(2)\]
Igualando (1) y (2), se obtiene:
\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}=\frac{c}{\text{sen}\,C}\]
Esta es la fórmula conocida por teorema de los senos.
Ahora, en la figura siguiente, hemos dibujado la circunferencia circunscrita al triángulo anterior; luego trazamos el diámetro \(BA’\) y unimos con \(C\), formándose el triángulo \(BCA’\), que es rectángulo en \(C\) (recuerda que el ángulo \(BCA’\) es inscrito, y el arco que va de \(A’\) a \(B\) abarca \(180^{\circ}\); por tanto el ángulo \(BCA’\) vale \(180^{\circ}/2=90^{\circ}\)).
Entonces, aplicando la fórmula del teorema de los senos en el triángulo \(BCA’\), obtenemos:
\[\frac{a}{\text{sen}\,A’}=\frac{2r}{\text{sen}\,90^{o}}\Rightarrow\frac{a}{\text{sen}\,A’}=2r\]
Pero el ángulo \(A\) es igual que el ángulo \(A’\), por ser inscritos y abarcar el mismo arco \(BC\), luego:
\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=2r\]
Este resultado lo incorporamos a la fórmula del teorema de los senos y resulta finalmente la expresión completa del teorema de los senos:
\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}=\frac{c}{\text{sen}\,C}=2r\]
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