Digamos que una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita se encuentra en el exponente. En general, de una un otra manera, una ecuación exponencial se puede reducir a una ecuación de la forma
\[a^x=b\]
donde \(a\) y \(b\) son números reales mayores que cero. La solución de la ecuación anterior se puede obtener aplicando logaritmos en los dos miembros de la igualdad:
\[\log a^x=\log b\Rightarrow x\log a=\log b\Rightarrow x=\frac{\log a}{\log b}\]
No hay un procedimiento general para resolver ecuaciones exponenciales, pero sí que es importante para su resolución conocer y aplicar las propiedades de las potencias, de las raíces y, en su caso, de los logaritmos. En la resolución de una ecuación exponencial, a un nivel de bachillerato, podemos aplicar alguno de estos cuatro casos:
- Conseguir que los dos miembros de la ecuación tengan la misma base.
- Aplicar un cambio de variable.
- Extraer factor común.
- Aplicar logaritmos.
Veamos algunos ejemplos que aclaren cada uno de los casos que se pueden presentar.
- Ejemplo 1
\[2^x\cdot4^{2x-1}=16\]
En este caso, factorizando \(4\) y \(16\) y aplicando las propiedades de las potencias, podemos transformar la ecuación así:
\[2^x\cdot(2^2)^{2x-1}=2^4\Rightarrow2^x\cdot2^{4x-2}=2^4\Rightarrow2^{5x-2}=2^{4}\]
Como dos potencias de la misma base son iguales si sus exponentes son iguales tenemos:
\[5x-2=4\Rightarrow5x=6\Rightarrow x=\frac{6}{5}\]
- Ejemplo 2
\[\frac{4^{x-1}}{2^{x+2}}=186\]
Procediendo como en el ejemplo anterior:
\[\frac{(2^2)^{x-1}}{2^{x+2}}=186\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\frac{(2)^{2x-2}}{2^{x+2}}=186\Rightarrow2^{(2x-2)-(x+2)}=186\Rightarrow2^{x-4}=186\]
Pero en este caso, como \(186\) no se puede escribir como potencia de base \(2\), ya que \(186=2\cdot3\cdot31\), lo que hacemos es aplicar logaritmos:
\[2^{x-4}=186\Rightarrow\log2^{x-4}=\log186\Rightarrow(x-4)\log2=\log186\Rightarrow\]
\[\Rightarrow x-4=\frac{\log186}{\log2}\Rightarrow x=\frac{\log186}{\log2}+4\]
- Ejemplo 3
\[3^x+3^{x+2}=30\]
Como el producto de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes, la ecuación anterior la podemos escribir así:
\[3^x+3^2\cdot3^x=30\Rightarrow3^x+9\cdot3^x=30\]
Sacando \(3^x\) factor común tenemos y operando obtenemos la solución:
\[3^x(1+9)=30\Rightarrow10\cdot3^x=30\Rightarrow3^x=3\Rightarrow x=1\]
- Ejemplo 4
\[2^x+2^{1-x}=3\]
Procediendo como en el ejemplo anterior tenemos:
\[2^x+2\cdot2^{-x}=3\Rightarrow2^x+\frac{2}{2^x}=3\]
Ahora podemos llamar \[2^x=z\] (cambio de variable), con lo que la ecuación anterior queda de la siguiente manera:
\[z+\frac{2}{z}=3\Rightarrow z^2+2=3z\Rightarrow z^2-3z+2=0\]
Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos:
\[z_1=1\ ;\ z_2=2\]
Si \(z=1\), entonces \(2^x=1\Rightarrow x=0\,\).
Si \(z=2\), entonces \(2^x=2\Rightarrow x=1\,\).
- Ejemplo 5
\[2\cdot3^{2x-1}=1+3^{x-1}\]
Esta ecuación se puede transformar en esta otra:
\[2\cdot3^{2x}\cdot3^{-1}=1+3^x\cdot3^{-1}\Rightarrow\frac{2}{3}3^{2x}=1+\frac{1}{3}3^x\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\frac{2}{3}(3^x)^2-\frac{1}{3}3^x-1=0\]
Ahora, haciendo el cambio de variable \(3^x=z\), tenemos:
\[\frac{2}{3}z^2-\frac{1}{3}z-1=0\Rightarrow2z^2-z-3=0\]
Si se resuelve esta última ecuación de segundo grado, tenemos que las soluciones son:
\[z_1=-1\quad;\quad z_2=\frac{3}{2}\]
Si \(z=-1\), entonces \(3^x=-1\). De aquí se deduce que no existe solución, ya que \(3^x>0\,,\, \forall\,x\in\mathbb{R}\).
Si \(z=\dfrac{3}{2}\), entonces \(3^x=\dfrac{3}{2}\). Aplicando logaritmos tenemos:
\(\log(3^x)=\log\frac{3}{2}\Rightarrow x\log(3)=\log(3)-\log(2)\Rightarrow x=1-\frac{\log(2)}{\log(3)}\)
La anterior es pues la única solución de la ecuación exponencial.
En el ejercicio 1 de esta relación de ejercicios de ecuaciones exponenciales y logarítmicas tienes muchas más ecuaciones exponenciales. La solución de cada una de ellas se encuentra al final de la relación.