Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

En la figura 9 hemos tomado la recta

\[r\equiv Ax+By+C=0\]

Sobre ella se consideran los puntos \(A(a_1,a_2)\) y \(X(x,y)\) que determinan el vector

\[\overrightarrow{AX}=(x-a_1,y-a_2)\]

El vector \(\vec{z}\) se ha construido unitario y perpendicular a \(r\). Por tanto tiene la misma dirección que el vector \(\vec{v}=(A,B)\). Para obtener \(\vec{z}\) basta multiplicar \(\vec{v}\) por el inverso de su módulo:

\[\vec{z}=\frac{1}{|\vec{v}|}\cdot(A,B)=\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\]

Ahora bien:

\[\overrightarrow{AX}\perp\vec{z}\Rightarrow\frac{A\cdot(x-a_1)}{\sqrt{A^2+B^2}}+\frac{B\cdot(y-a_2)}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\]

O sea:

\[\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y+\frac{-A\cdot a_1-B\cdot a_2}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\quad(\ast)\]

Pero si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto \(A\), resulta:

\[A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0\Leftrightarrow C=-A\cdot a_1-B\cdot a_2\]

Sustituyendo en \((\ast)\):

\[\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y+\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\]

La ecuación anterior es la ecuación normal de la recta. Surge una pregunta: ¿qué significado tienen los coeficientes de la \(x\) y de la \(y\) de esa ecuación normal de la recta? Obsérvese que son las componentes del vector unitario \(z\). Tales componentes de un vector unitario en una base ortonormal \(\{\mathbf{i},\mathbf{j}\}\), son el coseno y el seno del ángulo \(\alpha\) que forma con el vector \(\mathbf{i}\) de la base. Así pues:

\[\cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\quad;\quad\text{sen}\,\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Esas expresiones reciben el nombre de cosenos directores de \(r\), pues la segunda también puede escribirse:

\[\text{sen}\,\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)\]

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