En la figura 9 hemos tomado la recta
\[r\equiv Ax+By+C=0\]
Sobre ella se consideran los puntos \(A(a_1,a_2)\) y \(X(x,y)\) que determinan el vector
\[\overrightarrow{AX}=(x-a_1,y-a_2)\]
El vector \(\vec{z}\) se ha construido unitario y perpendicular a \(r\). Por tanto tiene la misma dirección que el vector \(\vec{v}=(A,B)\). Para obtener \(\vec{z}\) basta multiplicar \(\vec{v}\) por el inverso de su módulo:
\[\vec{z}=\frac{1}{|\vec{v}|}\cdot(A,B)=\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\]
Ahora bien:
\[\overrightarrow{AX}\perp\vec{z}\Rightarrow\frac{A\cdot(x-a_1)}{\sqrt{A^2+B^2}}+\frac{B\cdot(y-a_2)}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\]
O sea:
\[\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y+\frac{-A\cdot a_1-B\cdot a_2}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\quad(\ast)\]
Pero si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto \(A\), resulta:
\[A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0\Leftrightarrow C=-A\cdot a_1-B\cdot a_2\]
Sustituyendo en \((\ast)\):
\[\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y+\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}=0\]
La ecuación anterior es la ecuación normal de la recta. Surge una pregunta: ¿qué significado tienen los coeficientes de la \(x\) y de la \(y\) de esa ecuación normal de la recta? Obsérvese que son las componentes del vector unitario \(z\). Tales componentes de un vector unitario en una base ortonormal \(\{\mathbf{i},\mathbf{j}\}\), son el coseno y el seno del ángulo \(\alpha\) que forma con el vector \(\mathbf{i}\) de la base. Así pues:
\[\cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\quad;\quad\text{sen}\,\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
Esas expresiones reciben el nombre de cosenos directores de \(r\), pues la segunda también puede escribirse:
\[\text{sen}\,\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)\]
- Ejemplo 13
Halla los cosenos directores y escribe en forma normal la recta
\[r\equiv5x+12y-4=0\]
Los cosenos directores son:
\[\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{5}{13}\quad;\quad\cos(90^{\circ}-\alpha)=\text{sen}\,\alpha=\frac{12}{13}\]
Entonces:
\[r\equiv\frac{5}{13}x+\frac{12}{13}y-\frac{4}{13}=0\]