Distancia entre los puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\).

Distancias entre puntos

En primer lugar veamos la distancia de un punto \(A(x,\,y)\) al origen de una referencia ortonormal \((O\,;\,\{i,\,j\})\).

En la figura 2, la distancia \(OA\) es el módulo del vector de posición \(OA=(x,\,y)\); es decir:

\[|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}}=\sqrt{x\cdot x+y\cdot y}=\sqrt{x^2+y^2}\]

o sea:

\[d(A,O)=\sqrt{x^2+y^2}\]

Obsérvese cómo se obtiene lo mismo que al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 2.

Ahora calculamos, sobre la figura 3, la distancia \(AB\):

\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\]

\[|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

O sea:

\[d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Obsérvese que se ha obtenido otra vez el mismo resultado que se obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 3.

  • Ejemplo 4

Calcula el perímetro \(P\) de un rombo, uno de cuyos lados es \(AB\), con \(A(2,\,15)\) y \(B(7,\,3)\).

\[d(A,B)=\sqrt{(7-2)^2+(3-15)^2}=\sqrt{25+144}=13\]

\[P=4\cdot d(A,B)=4\cdot13=52\]

← 1. Repaso de la recta en el plano afín

3. Ángulo de dos rectas 

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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