Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
En primer lugar veamos la distancia de un punto \(A(x,\,y)\) al origen de una referencia ortonormal \((O\,;\,\{i,\,j\})\).
En la figura 2, la distancia \(OA\) es el módulo del vector de posición \(OA=(x,\,y)\); es decir:
\[|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}}=\sqrt{x\cdot x+y\cdot y}=\sqrt{x^2+y^2}\]
o sea:
\[d(A,O)=\sqrt{x^2+y^2}\]
Obsérvese cómo se obtiene lo mismo que al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 2.
Ahora calculamos, sobre la figura 3, la distancia \(AB\):
\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\quad;\quad|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
O sea:
\[d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Obsérvese que se ha obtenido otra vez el mismo resultado que se obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 3.
- Ejemplo 4
Calcula el perímetro \(P\) de un rombo, uno de cuyos lados es \(AB\), con \(A(2,\,15)\) y \(B(7,\,3)\).
\[d(A,B)=\sqrt{(7-2)^2+(3-15)^2}=\sqrt{25+144}=13\]
\[P=4\cdot d(A,B)=4\cdot13=52\]
