Cuatro problemas de trigonometría para profundizar

Se proponen a continuación cuatro problemas de trigonometría para profundizar un poco más en esta parte de las matemáticas. Estos apuntes de trigonometría os pueden servir para aprender o repasar los conceptos fundamentales.

Es importante intentar hacerlos antes de hacer clic sobre el desplegable para ver la resolución del problema correspondiente.

Problema 1

Dos vías de tren de \(1,4\) m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un ángulo de corte es de \(40^\text{o}\), ¿cuánto valdrá el lado del rombo?

La solución aquí

La solución aquí

Este problema se puede resolver con cierta facilidad si se realiza un dibujo adecuado.

Observa que las dos vías se cruzan en el rombo \(ABCD\), y que el triángulo \(ADE\) es claramente rectángulo. En este último triángulo conocemos el lado \(DE=1,4\ \text{m}\) (el ancho de las vías). Además hemos llamado \(x=AD\) al lado del rombo. Entonces:

\[\text{sen}\,40^{\text{o}}=\frac{DE}{AD}=\frac{1,4}{x}\Rightarrow x=\frac{1,4}{\text{sen}\,40^{\text{o}}}=\frac{1,4}{0,643}\approx2,18\]

Por tanto el lado del rombo mide, aproximadamente, \(2,18\) metros.

Problema 2

Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles \(A\) y \(B\), fijamos dos puntos \(C\) y \(D\) tales que \(\overline{CD}=300\) m, y medimos los siguientes ángulos: \(\widehat{ADB}=25^\text{o}\), \(\widehat{BDC}=40^\text{o}\), \(\widehat{ACD}=46^\text{o}\) y \(\widehat{ACB}=32^\text{o}\). Calcula la distancia entre \(A\) y \(B\).

La solución aquí

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Con estos datos podemos calcular los ángulos \(\widehat{CAD}=180^\text{o}-65^\text{o}-46^\text{o}=69^\text{o}\) y \(\widehat{CBD}=180^\text{o}-40^\text{o}-78^\text{o}=60^\text{o}\).

Calculamos ahora \(\overline{AD}\) en el triángulo \(ACD\). Para ello aplicamos el teorema de los senos.

\[\frac{\overline{AD}}{\text{sen}\,46^\text{o}}=\frac{300}{\text{sen}\,69^\text{o}}\Rightarrow \overline{AD}=\frac{300\cdot\text{sen}\,46^\text{o}}{\text{sen}\,69^\text{o}}\approx223,22\]

De manera similar calculamos \(\overline{BD}\) en el triángulo \(BCD\).

\[\frac{\overline{BD}}{\text{sen}\,78^\text{o}}=\frac{300}{\text{sen}\,60^\text{o}}\Rightarrow \overline{AD}=\frac{300\cdot\text{sen}\,78^\text{o}}{\text{sen}\,60^\text{o}}\approx338,84\]

Finalmente calculamos la distancia entre \(A\) y \(B\), \(\overline{AB}\), aplicando el teorema del coseno en el triángulo \(ABD\).

\[\overline{AB}^2=\overline{AD}^2+\overline{BD}^2-2\cdot\overline{AD}\cdot\overline{BD}\cdot\cos\,25^\text{o}\approx\]

\[\approx223,22^2+338,84^2-2\cdot223,22\cdot338,84\cdot0,91=27540,97\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{27540,97}=165,95\]

Por tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es, aproximadamente, \(165,95\) metros.

Problema 3

En un círculo de \(15\) cm de radio, halla el área comprendida entre una cuerda de \(20\) cm de longitud y el diámetro paralelo a ella.

La solución aquí

La solución aquí

Hagamos un dibujo de la situación expresada en el enunciado del problema:

Podemos dividir la zona sombreada, cuya área queremos calcular, en tres partes, \(S_1\), \(S_2\) y \(S_3\).

\(S_2\) es un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden \(15\) cm y el lado desigual mide \(20\) cm. El área de este triángulo, que llamaremos \(A_2\), es \(A_2=\dfrac{20 h}{2}=10h\), donde \(h\) es la altura correspondiente al lado desigual. Es fácil darse cuenta de que, por el teorema de Pitágoras, \(15^2=10^2+h^2\), de donde \(h=\sqrt{15^2-10^2}=11,18\) cm2. Por tanto \(A_2=10\cdot11,18=111,8\) cm2.

También, utilizando el teorema del coseno, podemos calcular en este mismo triángulo el ángulo \(\beta\):

\[20^2=15^+15^2-2\cdot15\cdot15\cdot\cos\beta\Rightarrow450\cos\beta=225+225-400\Rightarrow\]

\[\Rightarrow450\cos\beta=50\Rightarrow\cos\beta=1,11\Rightarrow \beta=83,62^{\text{o}}\]

Obsérvese ahora que los sectores circulares \(S_1\) y \(S_3\) son iguales y de ángulo fácil de calcular una vez conocido \(\beta\): \(\alpha=\dfrac{180-\beta}{2}=48,19^{\text{o}}\). Si llamamos \(A_1\) y \(A_3\) al área de estos dos sectores tenemos que:

\[A_1=A_3=\dfrac{\pi\cdot r^2}{360^{\text{o}}}\alpha=\dfrac{\pi\cdot15^2}{360^{\text{o}}}48,19^{\text{o}}=94,62\,\text{cm}^2\]

Por tanto el área que nos piden es:

\[A_1+A_2+A_3=94,62+111,8+94,62=301,04\,\text{cm}^2\]

Problema 4

Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden \(9\) m y \(4\) m. Halla el ángulo \(2\alpha\), que forman sus tangentes comunes.

La solución aquí

La solución aquí

Observa la siguiente figura:

Los triángulos \(PAO\) y \(PBO’\) son ambos rectángulos y semejantes. Por semejanza tenemos:

\[\frac{4}{9}=\frac{\overline{OP}}{\overline{O’P}}\Rightarrow\frac{4}{9}=\frac{x+4}{x+17}\Rightarrow4x+68=9x+36\Rightarrow\]

\[\Rightarrow5x=32\Rightarrow x=\frac{32}{5}\]

De este modo:

\[\overline{OP}=\frac{32}{5}+4=\frac{52}{5}=10,4\,\text{m}\]

Por tanto, al ser \(PAO\) rectángulo:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{4}{10,4}=0,3846\Rightarrow\alpha=\text{arcsen}\,0,3846=22,62^{\circ}\Rightarrow2\alpha=45,24^{\circ}\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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