Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Se proponen a continuación cuatro problemas de trigonometría para profundizar un poco más en esta parte de las matemáticas. Estos apuntes de trigonometría os pueden servir para aprender o repasar los conceptos fundamentales.
Es importante intentar hacerlos antes de hacer clic sobre el desplegable para ver la resolución del problema correspondiente.
Problema 1
Dos vías de tren de \(1,4\) m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un ángulo de corte es de \(40^\text{o}\), ¿cuánto valdrá el lado del rombo?
La solución aquí
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Este problema se puede resolver con cierta facilidad si se realiza un dibujo adecuado.
Observa que las dos vías se cruzan en el rombo \(ABCD\), y que el triángulo \(ADE\) es claramente rectángulo. En este último triángulo conocemos el lado \(DE=1,4\ \text{m}\) (el ancho de las vías). Además hemos llamado \(x=AD\) al lado del rombo. Entonces:
\[\text{sen}\,40^{\text{o}}=\frac{DE}{AD}=\frac{1,4}{x}\Rightarrow x=\frac{1,4}{\text{sen}\,40^{\text{o}}}=\frac{1,4}{0,643}\approx2,18\]
Por tanto el lado del rombo mide, aproximadamente, \(2,18\) metros.
Problema 2
Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles \(A\) y \(B\), fijamos dos puntos \(C\) y \(D\) tales que \(\overline{CD}=300\) m, y medimos los siguientes ángulos: \(\widehat{ADB}=25^\text{o}\), \(\widehat{BDC}=40^\text{o}\), \(\widehat{ACD}=46^\text{o}\) y \(\widehat{ACB}=32^\text{o}\). Calcula la distancia entre \(A\) y \(B\).
La solución aquí
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Con estos datos podemos calcular los ángulos \(\widehat{CAD}=180^\text{o}-65^\text{o}-46^\text{o}=69^\text{o}\) y \(\widehat{CBD}=180^\text{o}-40^\text{o}-78^\text{o}=60^\text{o}\).
Calculamos ahora \(\overline{AD}\) en el triángulo \(ACD\). Para ello aplicamos el teorema de los senos.
\[\frac{\overline{AD}}{\text{sen}\,46^\text{o}}=\frac{300}{\text{sen}\,69^\text{o}}\Rightarrow \overline{AD}=\frac{300\cdot\text{sen}\,46^\text{o}}{\text{sen}\,69^\text{o}}\approx223,22\]
De manera similar calculamos \(\overline{BD}\) en el triángulo \(BCD\).
\[\frac{\overline{BD}}{\text{sen}\,78^\text{o}}=\frac{300}{\text{sen}\,60^\text{o}}\Rightarrow \overline{AD}=\frac{300\cdot\text{sen}\,78^\text{o}}{\text{sen}\,60^\text{o}}\approx338,84\]
Finalmente calculamos la distancia entre \(A\) y \(B\), \(\overline{AB}\), aplicando el teorema del coseno en el triángulo \(ABD\).
\[\overline{AB}^2=\overline{AD}^2+\overline{BD}^2-2\cdot\overline{AD}\cdot\overline{BD}\cdot\cos\,25^\text{o}\approx\]
\[\approx223,22^2+338,84^2-2\cdot223,22\cdot338,84\cdot0,91=27540,97\Rightarrow\]
\[\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{27540,97}=165,95\]
Por tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es, aproximadamente, \(165,95\) metros.
Problema 3
En un círculo de \(15\) cm de radio, halla el área comprendida entre una cuerda de \(20\) cm de longitud y el diámetro paralelo a ella.
La solución aquí
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Hagamos un dibujo de la situación expresada en el enunciado del problema:
Podemos dividir la zona sombreada, cuya área queremos calcular, en tres partes, \(S_1\), \(S_2\) y \(S_3\).
\(S_2\) es un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden \(15\) cm y el lado desigual mide \(20\) cm. El área de este triángulo, que llamaremos \(A_2\), es \(A_2=\dfrac{20 h}{2}=10h\), donde \(h\) es la altura correspondiente al lado desigual. Es fácil darse cuenta de que, por el teorema de Pitágoras, \(15^2=10^2+h^2\), de donde \(h=\sqrt{15^2-10^2}=11,18\) cm2. Por tanto \(A_2=10\cdot11,18=111,8\) cm2.
También, utilizando el teorema del coseno, podemos calcular en este mismo triángulo el ángulo \(\beta\):
\[20^2=15^+15^2-2\cdot15\cdot15\cdot\cos\beta\Rightarrow450\cos\beta=225+225-400\Rightarrow\]
\[\Rightarrow450\cos\beta=50\Rightarrow\cos\beta=1,11\Rightarrow \beta=83,62^{\text{o}}\]
Obsérvese ahora que los sectores circulares \(S_1\) y \(S_3\) son iguales y de ángulo fácil de calcular una vez conocido \(\beta\): \(\alpha=\dfrac{180-\beta}{2}=48,19^{\text{o}}\). Si llamamos \(A_1\) y \(A_3\) al área de estos dos sectores tenemos que:
\[A_1=A_3=\dfrac{\pi\cdot r^2}{360^{\text{o}}}\alpha=\dfrac{\pi\cdot15^2}{360^{\text{o}}}48,19^{\text{o}}=94,62\,\text{cm}^2\]
Por tanto el área que nos piden es:
\[A_1+A_2+A_3=94,62+111,8+94,62=301,04\,\text{cm}^2\]
Problema 4
Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden \(9\) m y \(4\) m. Halla el ángulo \(2\alpha\), que forman sus tangentes comunes.
La solución aquí
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Observa la siguiente figura:
Los triángulos \(PAO\) y \(PBO’\) son ambos rectángulos y semejantes. Por semejanza tenemos:
\[\frac{4}{9}=\frac{\overline{OP}}{\overline{O’P}}\Rightarrow\frac{4}{9}=\frac{x+4}{x+17}\Rightarrow4x+68=9x+36\Rightarrow\]
\[\Rightarrow5x=32\Rightarrow x=\frac{32}{5}\]
De este modo:
\[\overline{OP}=\frac{32}{5}+4=\frac{52}{5}=10,4\,\text{m}\]
Por tanto, al ser \(PAO\) rectángulo:
\[\text{sen}\,\alpha=\frac{4}{10,4}=0,3846\Rightarrow\alpha=\text{arcsen}\,0,3846=22,62^{\circ}\Rightarrow\]
\[\Rightarrow2\alpha=45,24^{\circ}\]
