Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Hace un tiempo escribí un artículo dedicado al árbelos. En él me refería a un libro titulado Expediciones Matemáticas, cuyo autor es Frank J. Swetz. Este libro propone multitud de problemas planteados a lo largo de la historia por distintas civilizaciones, haciendo un recorrido por la antigua Babilonia, el antiguo Egipto, la antigua Grecia, la antigua China, la India, el mundo islámico, la Europa medieval y la Europa renacentista. Pero esto es sólo una parte del libro. También se proponen, entre otros, problemas de los templos japoneses, problemas victorianos del siglo XIX, problemas norteamericanos de los siglos XVIII y XIX y problemas de cálculo del siglo XIX.
Como profesor estoy convencido de que, en nuestras clases, debemos manejar y trabajar con mucha más frecuencia los problemas de matemáticas. No se hace y debemos hacerlo. Es la salsa de las matemáticas. Y si además tienen un contexto histórico, pues mejor. Frank J. Swetz, en el prefacio del libro mencionado dice así:
Analizar y estudiar estos problemas puede servir para presentar a la clase un nuevo concepto matemático o reforzar alguno ya estudiado. En sí mismo, cada problema también proporciona una breve anécdota sobre por qué se necesitan las matemáticas. Igualmente, el contexto de los problemas proporciona al lector detalles sobre cómo era la vida de las personas en la época en la cual fueron escritos. Su contenido conecta las matemáticas con la sociedad y, dado que no son elementos cerrados, este aspecto permite utilizarlos tanto para la enseñanza interdisciplinar como para generar diferentes debates en clase.
Para que sirva de muestra he seleccionado cinco problemas matemáticos de la antigua China. Antes de los enunciados, en el libro se hace una breve introducción. En el caso de la antigua China, merece la pena hacerla aquí:
Al igual que Mesopotamia y el antiguo Egipto, la antigua China era una “sociedad hidráulica”. Se desarrolló en fértiles valles que permitieron la agricultura. Sin embargo, los ríos, principalmente el Yangtsé y el Amarillo, sufrían inundaciones, por lo que para la supervivencia de los asentamientos humanos se hacían necesarios sistemas de irrigación y diques par el control del agua. La responsabilidad de la construcción y mantenimiento de estos sistemas recayó en el gobierno y su burocracia. Con el tiempo, este gobierno terminó consistiendo en un emperador y ministerios imperiales dirigidos por eruditos de la corte. Las dos disciplinas científicas utilizadas para mantener el imperio eran las matemáticas (necesarias para la construcción y el cobro de impuestos) y la astronomía (para predecir los ciclos del crecimiento agrícola).
Los pocos manuales de matemáticas que se conservan contienen problemas que demuestran la naturaleza práctica de las primeras matemáticas chinas. El más importante de estos libros se titula Los nueve capítulos del arte matemático (c. 100 a.C.), que satisfizo las necesidades matemáticas chinas durante cientos de años y fue adoptado en países vecinos como Japón y Corea.
Los problemas siguientes contienen varias unidades de medida tradicionales chinas. Cuando ha sido necesario, se han proporcionado algunas relaciones de conversión. No obstante, sería un interesante ejercicio que el alumno estudiara las relaciones entre ellas y las comparara con las unidades de medida modernas.
Pues bien, ahí van los cinco problemas de la antigua China que he seleccionado. El enunciado de cada uno de ellos se ha transcrito literalmente del libro. A veces puede parecer que falta algún dato, o hay que presuponer cierta situación que se omite. ¿Te atreves a dar con la solución de alguno? Yo estoy en ello. Puede que publique aquí mismo el desarrollo que conduce a la solución final. De todas formas, si alguien quiere hacer alguna aportación que no dude en escribirme: mi dirección de correo electrónico es pco400@gmail.com. En general, los cuatro primeros problemas son aptos para cualquier alumno que esté en último curso de secundaria obligatoria, incluso en algún curso anterior. El quinto problema no es fácil. Al menos eso pienso yo (pero seguro que hay alguien que lo ve extraordinariamente sencillo). De hecho, he de confesar que muchos de los problemas cuyo enunciado ya he leído y que se proponen en el libro, o bien aún no he dado con la forma de resolverlos, o bien me ha costado mucho llegar a la solución. Pero eso está bien, pues me hace navegar otra vez por conceptos matemáticos un poco olvidados y, así, mantener viva esta pasión por las matemáticas.
- Problema 1
Encuentra un número cuyos restos son 2, 3 y 2 cuando es dividido respectivamente entre 3, 5 y 7.
- Problema 2
Un caballo, que disminuye su velocidad a la mitad cada día, viaja 700 millas en 7 días. ¿Cuánto camino recorre cada día?
- Problema 3
Una ciudad cuadrada y amurallada de dimensiones desconocidas tiene 4 puertas, una en el centro de cada lado. A 20 bu de la puerta norte hay un árbol. Hay que caminar 14 bu hacia el sur desde la puerta sur y luego girar al oeste y caminar 1775 bu antes de poder ver el árbol. ¿Cuáles son las dimensiones de la ciudad?
- Problema 4
Un estanque cuadrado tiene lados de 10 pies de longitud. En la orilla occidental crecen cañas verticales que sobresalen exactamente 3 pies del agua. En la orilla oriental un tipo diferente de caña sobresale exactamente 1 pie fuera del agua. Cuando se hace que los dos tipos de caña se junten, sus extremos superiores están exactamente nivelados con la superficie del agua. Permíteme que te pregunte cómo calcular estas tres cosas: la profundidad del agua y la longitud de cada caña.
La solución aquí
La solución aquí
Una idea aproximada de la situación la podemos ver en la siguiente figura:
Hemos denotado con color azul claro la superficie del agua. Observamos que el estanque es cuadrado de lado 10 pies. La caña verde sobresale 3 pies fuera del agua y la caña naranja sobresale justo un pie de la superficie del agua. También hemos notado con la letra \(x\) a la profundidad del estanque.
Si hacemos que los extremos de las cañas se junten doblándolas hacia el interior del estanque, el enunciado asegura que tales extremos superiores, cuando se tocan, están exactamente nivelados con la superficie del agua. Podríamos representar esto del siguiente modo:
Obsérvese que la caña verde, la caña naranja y el fondo del estanque forman un triángulo. Como los extremos superiores de las cañas están exactamente nivelados con la superficie del agua, la altura de tal triángulo es \(x\). Evidentemente, la longitud total de la caña verde es \(x+3\), y la longitud total de la caña naranja es \(x+1\). La altura del triángulo divide a la base en dos partes, que hemos llamado \(10-a\) y \(a\) (puesto que ambas suman 10 pies). Del mismo modo, la altura divide también a nuestro triángulo en dos triángulos rectángulos. Aplicando en ambos el teorema de Pitágoras tenemos:
\[\begin{cases}(x+1)^2=x^2+a^2\\(x+3)^2=x^2+(10-a)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2+2x+1=x^2+a^2\\x^2+6x+9=x^2+100-20a+a^2\end{cases}\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\begin{cases}2x+1=a^2\\6x+9=100-20a+a^2\end{cases}\]
Despejando \(x\) de la primera ecuación de este último sistema:
\[x=\frac{a^2-1}{2}\quad;\quad(1)\]
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación:
\[6\frac{a^2-1}{2}+9=100-20a+a^2\Rightarrow3a^2-3+9=100-20a+a^2\Rightarrow\]
\[\Rightarrow2a^2+20a-94=0\Rightarrow a^2+10a-47=0\]
Resolviendo la ecuación de segundo grado:
\[a=\frac{-10\pm\sqrt{100-4\cdot1\cdot(-47)}}{2}=\frac{-10\pm\sqrt{288}}{2}=\begin{cases}a_1\approx3,5\\a_2\approx-13,5\end{cases}\]
Hemos aproximado los resultados por redondeo a una cifra decimal. Descartando la solución negativa, tenemos que \(a\approx3,5\). Entonces, sustituyendo en \((1)\):
\[x=\frac{3.5^2-1}{2}\approx5.6\]
Por tanto, la profundidad del estanque es de \(5,6\) pies, la caña verde mide \(8,6\) pies y la caña naranja mide \(6,6\) pies de largo.
- Problema 5
Tengo dos cañas. El primer día una crece 3 pies y la otra 1 pie. El crecimiento de la primera disminuye cada día a la mitad que el día anterior, mientras que la otra crece el doble que el día anterior. ¿Cuántos días tardarán en tener la misma altura?
Entre el 5º y el 6º día! En el 5º día la caña número 1 habrá crecido 17,4375 pies y la caña número 2, 16 pies.
No entiendo bien lo que se describe en el Problema 4 con: «Cuando se hace que los dos tipos de caña se junten, sus extremos superiores están exactamente nivelados con la superficie del agua.»
– Que se pone una al lado de otra DENTRO del estanque? Y que entonces estan cubiertas de agua justo hasta la «punta»? Osea, que a la orilla del estanque significa, que estan fuera del estanque, o no?
Si es asi, las 2 can~as tienen la misma longitud y el estanque es tan profundo como miden las can~as, no?
Hola.
He puesto, tras el enunciado, la solución al problema número 4. Sé que el enunciado puede parecer confuso, pero es tal y como está en el libro al que se hace referencia en el artículo.