Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Consideremos el triángulo de la figura siguiente:
Sabemos que el área o superficie \(S\) del mismo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente, es decir, viene dada por la conocida fórmula «base por altura partido por dos»:
\[S=\frac{b\cdot h}{2}\qquad (1)\]
Observemos que en el triángulo rectángulo \(BHC\), se cumple que \(\text{sen}\,C=\dfrac{h}{a}\), es decir, \(h=a\cdot\text{sen}\,C\). Poniendo esta igualdad en la fórmula anterior, obtenemos esta otra:
\[S=\frac{b\cdot a\cdot\text{sen}\,C}{2}\qquad (2)\]
O sea, que el área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
En un artículo dedicado al teorema de los senos obteníamos la siguiente fórmula:
\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}=\frac{c}{\text{sen}\,C}=2R\]
En la fórmula anterior \(R\) es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Despejando \(\text{sen}\,C\) de la fórmula anterior tenemos que \(\text{sen}\,C=\dfrac{c}{2R}\). Si se sutituye esta igualdad en la fórmula \((2)\) se obtiene:
\[S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}\qquad (3)\]
De este modo tenemos también que el área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.
Observemos ahora la figura siguiente:
En esta figura se ha dibujado la circunferencia inscrita al triángulo \(ABC\). Desde el incentro \(I\), se han formado tres triángulos: \(IAB\), \(IAC\) e \(ICB\), cuya suma de áreas completa el área \(S\) del triángulo \(ABC\).
Los radios de la circunferencia «hacen de alturas» de esos triángulos, porque son perpendiculares a los lados en los puntos de tangencia, así que:
\[\text{Área}[IAB]=\frac{c\cdot r}{2}\ \text{;}\ \text{Área}[IAC]=\frac{b\cdot r}{2}\ \text{;}\ \text{Área}[ICB]=\frac{a\cdot r}{2}\]
Por tanto:
\[S=\frac{c\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}+\frac{a\cdot r}{2}\Rightarrow S=\frac{r\cdot(a+b+c)}{2}\]
Si llamamos \(s\) al semiperímetro del triángulo, como \(s=\dfrac{a+b+c}{2}\), tenemos:
\[S=r\cdot s\qquad (4)\]
Es decir, el área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
Por último, citamos la llamada fórmula de Herón, útil cuando se conocen los tres lados del triángulo. Es la siguiente:
\[S=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}\qquad (5)\]
Al igual que antes, \(s\) es el semiperímetro del triángulo.
