Matemáticas Bachillerato

Sea \(\int\text{R}\,(\text{sen}\,x,\,\cos x,\,\text{tg}\,x)\) una función racional de \(\text{sen}\,x\), \(\cos x\) y \( \text{tg}\,x\), es decir, una función en la que \(\text{sen}\,x\), \(\cos x\) y \( \text{tg}\,x\) aparecen ligados por sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Si queremos integrar esta función y no encontramos un procedimiento sencillo, podemos transformarla en una función racional de \(t\) teniendo en cuenta lo que se expone ...

Se trata de calcular la primitiva de la función \(\dfrac{1}{\text{sen}\,x}\), o lo que es lo mismo, la siguiente integral indefinida: \[\int \frac{1}{\text{sen}\,x}\,dx \] Primer método Haremos uso del cambio de variable \(\text{sen}\,x=t\). De aquí, derivando obtenemos: \[\cos x\,dx=dt\Rightarrow dx=\frac{dt}{\cos x}=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\] En la última igualdad hemos usado la fórmula fundamental de la trigonometría: \[\text{sen}^2x+\cos^2x=1\Rightarrow\cos^2x=1-\text{sen}^2x\Rightarrow\cos^2 x=1-t^2\Rightarrow \cos x=\sqrt{1-t^2}\] De este modo: \[ ...

La pregunta es: ¿cómo podemos completar un cuadrado para obtener cualquier polinomio de grado dos? Dicho de otra manera: si \(ax^2+bx+c\) es un polinomio de grado dos (con lo cual supondremos que \(a\neq0\)), ¿cómo hacer para expresarlo como un cuadrado completado? Es decir, ¿podremos conseguir la siguiente expresión? \[a{x^2} + bx + c = a\left( {{{\left( {x + m} \right)}^2} + {n^2}} ...

Se acercan los “temidos” problemas de optimización. Pero, como todo en matemáticas, los hay más fáciles y menos fáciles. Proponemos a continuación un problema de este tipo. De hecho, los problemas de optimización son parte del temario de Matemáticas II, en 2º de Bachillerato. Concretamente, uno de los estándares de aprendizaje de esta materia es, literalmente: “plantea problemas de optimización ...

Si \(f\) es una función real de variable real, y \(a\) es un número real perteneciente al dominio de la función \(f\) (\(a\in\text{Dom}\,f\)), sabemos que \((a,f(a))\) es un punto de la gráfica de \(f\). Intuitivamente, la función \(f\) es continua en este punto cuando al dibujar la gráfica de la misma, no tenemos que “levantar el lápiz del papel” al ...

Hasta aquí lo que se pide en el enunciado del problema. Cuando hacemos problemas de geometría en el plano, es conveniente representar gráficamente los resultados obtenidos haciendo uso de una aplicación gráfica. Por ejemplo, con la aplicación online desmos podemos representar el punto y la diagonal que se dan como datos en el enunciado, y luego ir representando cada elemento que ...

Una inecuación lineal de primer grado con dos incógnitas es una desigualdad que puede presentar cualquiera de las cuatro formas siguientes: \[ax+by+c>0\quad;\quad ax+by+c\geq0\] \[ax+by+c<0\quad;\quad ax+by+c\leq0\] donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, llamados coeficientes (\(a\neq0\)), y \(x\) e \(y\) son números desconocidos, llamados incógnitas. El objetivo es encontrar el conjunto de soluciones en el plano para las incógnitas \(x\) ...

Una inecuación de segundo grado es una desigualdad que puede presentar cualquiera de las cuatro formas siguientes: \[ax^2+bx+c>0\quad;\quad ax^2+bx+c\geq0\] \[ax^2+bx+c<0\quad;\quad ax^2+bx+c\leq0\] donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, llamados coeficientes (\(a\neq0\)), y \(x\) es un número desconocido, llamado incógnita. El objetivo es, naturalmente, despejar la incógnita. A diferencia de las ecuaciones de segundo grado, en las que podía haber ...

En un antiguo artículo de esta web se hace un estudio completísimo de la relación que guarda la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas y la recta en el plano afín, intentando unir la parte algebraica y analítica con la parte geométrica. En el artículo citado aparecen dos de las ecuaciones más conocidas de la recta en el ...

Sabemos que una ecuación de segundo grado es una igualdad de la forma \[ax^2+bx+c=0\] donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, llamados coeficientes (\(a\neq0\)), y \(x\) es un número desconocido, llamado incógnita. El objetivo es, naturalmente, despejar la incógnita. Por ejemplo, ¿cuánto ha de valer \(x\) para que se cumpla la igualdad \(3x^2+2x-8=0\)? Probando con números enteros llegamos rápidamente ...