Análisis

Ejercicios y apuntes para el análisis matemático de la ESO y Bachiller.

Una integral racional más elaborada

En este artículo vamos a calcular una primitiva de la función \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x^3+1}\). Es decir, calcularemos la siguiente integral indefinida: \[\int\frac{x^3-1}{x^3+1}\,dx\] Empecemos por descomponer la integral en otras dos: \[\int\frac{x^3-1}{x^3+1}\,dx= \int\frac{x^3+1-2}{x^3+1}\,dx= \int\left(\frac{x^3+1}{x^3+1}-\frac{2}{x^3+1}\right)\,dx=\] \[\int1\,dx-\int\frac{2}{x^3+1}\,dx=x-2\int\frac{1}{x^3+1}\,dx\] Ahora vamos a dedicar nuestro esfuerzo a ...

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Una integral con radicales

Calcular la siguiente integral: \[\int{\frac{{\sqrt x dx}}{{\sqrt[3]{x} – 1}}}\] Vamos a realizar el cambio de variable \(x=t^6\). \[\int {\frac{{\sqrt x dx}}{{\sqrt[3]{x} – 1}} = \left[ {x = {t^6} \Rightarrow dx = 6{t^5}dt} \right]} =\] \[= \int {\frac{{\sqrt {{t^6}} 6{t^5}dt}}{{\sqrt[3]{{{t^6}}} – ...

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Una integral de apariencia «inocente»

Se trata de calcular la primitiva de la función \(\dfrac{1}{\text{sen}\,x}\), o lo que es lo mismo, la siguiente integral indefinida: \[\int \frac{1}{\text{sen}\,x}\,dx \] Primer método Haremos uso del cambio de variable \(\text{sen}\,x=t\). De aquí, derivando obtenemos: \[\cos x\,dx=dt\Rightarrow dx=\frac{dt}{\cos x}=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\] ...

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Completando cuadrados

La pregunta es: ¿cómo podemos completar un cuadrado para obtener cualquier polinomio de grado dos? Dicho de otra manera: si \(ax^2+bx+c\) es un polinomio de grado dos (con lo cual supondremos que \(a\neq0\)), ¿cómo hacer para expresarlo como un cuadrado completado? Es ...

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Funciones polinómicas

Una función polinómica, como su nombre indica, está definida mediante un polinomio, es decir: \[f(x)=a_nx^n+x_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\] Es fácil darse cuenta de que el dominio de una función polinómica es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, ya que tiene sentido ...

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