Cambio de sistema de referencia ortonormal

Traslación de ejes

Consideremos las referencias ortonormales \(R_1=\{O\,;\,\{\mathbf{i},\mathbf{j}\}\}\)  y \(R_2=\{O’\,;\,\{\mathbf{i},\mathbf{j}\}\}\) que aparecen en la figura 12. Obsérvese que la segunda referencia, \(R_2\), tiene los ejes paralelos a los de la primera, \(R_1\).

Supongamos que las coordenadas del nuevo origen, respecto de la referencia \(R_1\) son \(O'(a,b)\) y que las coordenadas de un punto \(A\) son, respecto de \(R_1\), \(A(x,y)\) y, respecto de \(R_2\), \(A(x’,y’)\).

Se verifica que

\[\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OO’}+\overrightarrow{O’A}\]

Es decir

\[(x,y)=(a,b)+(x’,y’)\]

Entonces

\[\begin{cases}x=a+x’\\y=b+y’\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x’=x-a\\y’=y-b\end{cases}\]

Las ecuaciones anteriores dan las coordenadas de \(A\) en cada una de las referencias, en función de las de la otra.

  • Ejemplo 16

Calcula la ecuación de la recta \(r\equiv x-2y+3=0\), cuando se traslada la referencia ortonormal hasta un origen de coordenadas \(O'(2,5)\).

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación de \(r\), queda

\[(x’+2)-2(y’+5)+3=0\Leftrightarrow x’-2y’-5=0\]

Giro de ejes

Ahora el origen de coordenadas no se mueve, pero la segunda referencia, \(R_2=\{O’\,;\,\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}\}\), es el resultado de girar la primera referencia, \(R_1=\{O\,;\,\{\mathbf{i},\mathbf{j}\}\}\), un ángulo \(\alpha\) (o sea, el ángulo que forma el vector \(\mathbf{i}\) con el vector \(\mathbf{v}\) es \(\alpha\)). Al igual que en anteriormente, las coordenadas de un punto \(A\) son, respecto de \(R_1\), \(A(x,y)\) y, respecto de \(R_2\), \(A(x’,y’)\) (ver figura 13).

En \(R_1\) se verifica

\[\mathbf{v}=(\cos\alpha,\text{sen}\,\alpha)\ ;\ \mathbf{w}=(-\text{sen}\,\alpha,\cos\alpha)\]

con lo que el vector de posición del punto \(A\) en las referencias \(R_1\) y \(R_2\) es

\[x\cdot\mathbf{i}+y\cdot\mathbf{j}=\overrightarrow{OA}=x’\cdot\mathbf{v}+y’\cdot\mathbf{w}\]

Si sutituimos en la expresión anterior las fórmulas

\[\mathbf{v}=(\cos\alpha,\text{sen}\,\alpha)\ ;\ \mathbf{w}=(-\text{sen}\,\alpha,\cos\alpha)\]

resulta, en coordenadas

\[(x,y)=x’\cdot(\cos\alpha,\text{sen}\,\alpha)+y’\cdot(-\text{sen}\,\alpha,\cos\alpha)\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow(x,y)=(x’\cdot\cos\alpha-y’\cdot\text{sen}\,\alpha,x’\cdot\text{sen}\,\alpha+y’\cdot\cos\alpha)\]

Al igualar componentes se obtiene

\[\begin{cases}x=x’\cdot\cos\alpha-y’\cdot\text{sen}\,\alpha\\y=x’\cdot\text{sen}\,\alpha+y’\cdot\cos\alpha\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x’=x\cdot\cos\alpha+y\cdot\text{sen}\,\alpha\\y’=-x\cdot\text{sen}\,\alpha+y\cdot\cos\alpha\end{cases}\]

Las ecuaciones anteriores dan las coordenadas de A en cada una de las referencias en función de las de la otra.

  • Ejemplo 17

Calcula la ecuación de la recta \(r\equiv x+y+1=0\), cuando la referencia ortonormal se gira \(\alpha=60^{\circ}\).

Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación de \(r\), queda

\[x’\cos60^{\circ}-y’\text{sen}\,60^{\circ}+x’\text{sen}\,60^{\circ}+y’\cos60^{\circ}+1=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\frac{1}{2}x’-\frac{\sqrt{3}}{2}y’+\frac{\sqrt{3}}{2}x’+\frac{1}{2}y’+1=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\frac{1+\sqrt{3}}{2}x’+\frac{1-\sqrt{3}}{2}y’+1=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow(1+\sqrt{3})x’+(1-\sqrt{3})y’+2=0\]

Traslación y giro de ejes

Si se aplican sucesivamente ambos cambios, las coordenadas del punto se transforman según el siguiente esquema:

\[\begin{cases}x’=x-a\\y’=y-b\end{cases}\quad;\quad\begin{cases}{x}»=x’\cdot\cos\alpha+y’\cdot\text{sen}\,\alpha\\{x}»=-x’\cdot\text{sen}\,\alpha+y’\cos\alpha\end{cases}\]

Sustituyendo \(x’\) e \(y’\) en las segundas igualdades, resulta

\[\begin{cases}{x}»=(x-a)\cdot\cos\alpha+(y-b)\cdot\text{sen}\,\alpha\\{x}»=-(x-a)\cdot\text{sen}\,\alpha+(y-b)\cos\alpha\end{cases}\]

O bien, despejando de aquí las iniciales

\[\begin{cases}x=a+{x}»\cdot\cos\alpha-{y}»\cdot\text{sen}\,\alpha\\y=b+{x}»\cdot\text{sen}\,\alpha+{y}»\cdot\cos\alpha\end{cases}\]

← 8. Área del triángulo

10. Lugares geométricos →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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