Tanto en el artículo dedicado al teorema fundamental del cálculo como en el de la regla de Barrow hemos visto ya ejemplos de que la integral definida \(\int_a^b f(x)dx\) se interpreta geométricamente como el área encerrada por la gráfica de la función \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\). En este artículo daremos unas pautas, según los casos, para el cálculo de áreas de figuras planas.
Caso 1
Si la función \(f(x)\) es positiva en el intervalo \([a,\,b]\) (o lo que es lo mismo, su gráfica se encuentra por encima del eje \(X\)), para hallar el área \(A\) comprendida entre la curva \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\), hallaremos una primitiva \(F\) de \(f\) y usaremos directamente la regla de Barrow:
\[A=\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\]
- Ejemplo 1
Hallar el área comprendida entre la parábola \(y=4x-x^2\) y el eje \(X\).
La parábola corta al eje \(X\) en los puntos de abscisas \(0\) y \(4\), y el recinto plano del que se busca el área está situado por encima del eje \(X\).
Por lo tanto, el área buscada será:
\[A=\int_0^4(4x-x^2)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}\,\text{u}^2\]
Caso 2
Si la curva es negativa en el intervalo \([a,\,b]\) (o lo que es lo mismo, su gráfica se encuentra por debajo del eje \(X\)), al aplicar la regla de Barrow obtendremos un número negativo. Como el área debe ser positiva haremos
\[A=-\int_a^b f(x)dx\]
- Ejemplo 2
Hallar el área comprendida entre la parábola \(y=x^2-6x+5\), las rectas \(x=1\), \(x=2\) y el eje \(X\).
Como el trozo considerado se encuentra por debajo del eje \(X\) tendremos que
\[A=-\int_1^2(x^2-6x+5)dx=-\left[\frac{1}{3}x^3-3x^2+5x\right]_1^2=\]
\[=-\left[\left(\frac{8}{3}-12+10\right)-\left(\frac{1}{3}-3+5\right)\right]=-\left(\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\right)=\frac{5}{3}\,\text{u}^2\]
Caso 3
Si la curva es positiva y negativa a trozos en \([a,\,b]\), entonces hay que integrar cada parte por separado y sumar los valores absolutos de los resultados. Obsérvese que, en este caso, hemos de resolver la ecuación \(f(x)=0\) para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje \(X\).
- Ejemplo 3
Hallar el área comprendida entre la curva \(y=\cos x\) y el eje \(X\) entre los puntos \(0\) y \(\pi\).
Si no nos damos cuenta de que hay un trozo positivo y otro negativo e integramos directamente entre \(0\) y \(\pi\), obtenemos
\[A=\int_0^\pi\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_0^\pi=\text{sen}\,\pi-\text{sen}\,0=0-0=0\]
y esto no es posible (una situación idéntica se presentaba en el ejemplo 2 del artículo anterior).
Por tanto, hemos de resolver la ecuación \(\cos x=0\), cuya solución es \(x=\frac{\pi}{2}\), e integramos la parte positiva y la parte negativa por separado, obteniendo:
\[A_1=\int_0^{\pi/2}\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_0^{\pi/2}=\text{sen}\frac{\pi}{2}-\text{sen}\,0=1-0=1\]
\[A_1=\int_{\pi/2}^\pi\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_{\pi/2}^\pi=\text{sen}\,\pi-\text{sen}\,\frac{\pi}{2}=0-1=-1\]
Sumando los valores absolutos de las dos partes, tenemos que el área buscada es \(A=1+1=2\,\text{u}^2\).
Caso 4. Área comprendida entre dos curvas
Para calcular el área comprendida entre dos curvas se hallan sus puntos de intersección y se integran ambas, restando después. Es decir, el área comprendida entre dos curvas \(f\) y \(g\) es igual al área comprendida entre la función diferencia, \(f-g\), y el eje \(X\).
- Ejemplo 4
Hallar el área encerrada entre las curvas \(y=x^2\), \(y=-x^2+2x+4\).
Hallemos los puntos de intersección de las dos curvas. Para ello resolvemos el sistema correspondiente.
\[\begin{cases}y=x^2\\y=-x^2+2x+4\end{cases}\Rightarrow x^2=-x^2+2x+4\Rightarrow2x^2-2x-4=0\]
Esta última ecuación de segundo grado tiene por soluciones \(x_1=-1\) y \(x_2=2\). Por consiguiente el área buscada es:
\[A=\int_{-1}^2(-x^2+2x+4)dx-\int_{-1}^2x^2dx=\int_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx=\]
\[=\left[-\frac{2}{3}x^3+x^2+4x\right]_{-1}^2=\left(-\frac{16}{3}+4+8\right)-\left(\frac{2}{3}+1-4\right)=\]
\[=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{27}{3}=9\,\text{u}^2\]
- Ejemplo 5
Hallar el área de la región limitada por la gráficas \(f(x)=x^3-x\) y \(g(x)=x^2\).
Los cortes de \(f\) y \(g\) se obtienen resolviendo la ecuación \(x^3-x=x^2\):
\[x^3-x=x^2\Leftrightarrow x(x^2-x-1)=0\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow x_1=0\ ,\ x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ ,\ x_3=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]
Además, como se puede observar en la gráfica siguiente
\[g(x)\leq f(x)\Leftrightarrow x\in\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2},\,0\right]\]
\[f(x)\leq g(x)\Leftrightarrow x\in\left[0,\,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]\]
Por tanto el área \(A\) que se busca es la suma de las áreas de los recintos \(A_1\) y \(A_2\) donde
\[A_1=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx\quad\text{;}\quad A_2=\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx\]
Por un lado
\[A_1=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0\approxeq\]
\[\approxeq0-\left(\frac{(-0.618)^4}{4}-\frac{(-0.618)^2}{2}-\frac{(-0.618)^3}{3}\right)=\]
\[=0-(0.036-0.191+0.079)=0.0761\]
Por otro lado
\[A_2=\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\approxeq\]
\[\approxeq\left(\frac{1.618^3}{3}-\frac{1.618^4}{4}+\frac{1.618^2}{2}\right)-0=1.412-1.713+1.309=1.008\]
Finalmente tenemos
\[A=A_1+A_2=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx+\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx\approxeq\]
\[\approxeq0.0761+1.008=1.0841\,\text{u}^2\]