Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Trabajaremos en el triángulo de la figura 11.
En él, la ecuación de la recta \(r\) es
\[r\equiv\frac{x-c_1}{b_1-c_1}=\frac{y-c_2}{b_2-c_2}\Leftrightarrow(b_2-c_2)x+(b_1-c_1)y+(b_1c_2-c_1b_2)=0\]
El área \(S\) del triángulo \(ABC\) es
\[S=\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot|\overrightarrow{AH}|\]
Pero
\[|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}\]
\[|\overrightarrow{AH}|=\frac{|(b_2-c_2)a_1+(c_1-b_1)a_2+b_1c_2-c_1b_2|}{\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}}\]
Obsérvese que para hallar \(AH\) se ha utilizado la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en la lección anterior. Sustituyendo estas expresiones en la fórmula del área del triángulo, queda
\[S=\frac{1}{2}\cdot|(b_2-c_2)a_1+(c_1-b_1)a_2+b_1c_2-c_1b_2|\]
La fórmula anterior no es fácil de recordar de memoria. Pero hay una expresión matemática equivalente, que se llama determinante, con el que no es necesario recordar esa fórmula, y se aplica como se hace en el ejemplo siguiente.
\[S=\frac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & 1\\
b_1 & b_2 & 1\\
c_1 & c_2 & 1
\end{vmatrix}\right|\]
- Ejemplo 15
Halla el área del triángulo cuyos vértices son \(A(2\,,\,0)\); \(B(3\,,\,4)\) y \(C(-2\,,\,5)\).
\[S=\frac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}
2 & 0 & 1\\
3 & 4 & 1\\
-2 & 5 & 1
\end{vmatrix}\right|=\]
\[=\frac{1}{2}\,|2\cdot4\cdot1+3\cdot5\cdot1+0\cdot1\cdot(-2)-1\cdot4\cdot(-2)-1\cdot5\cdot2-0\cdot3\cdot1|=\]
\[=\frac{1}{2}\cdot|8+15+0+8-10-0|=\frac{21}{2}\]
Los seis productos del determinante corresponden al esquema siguiente, conocido como regla de Sarrus: las diagonales continuas se suman y las diagonales en trazos se restan.
