Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Al cortarse dos rectas aparecen cuatro ángulos, dos a dos iguales (figura 4).
Se conviene en llamar ángulo de las rectas \(r\) y \(s\) a uno de los dos menores iguales que forman. Por tanto:
\[\alpha\leqslant90^{\circ}\]
y, entonces,
\[0\leqslant\cos\alpha\leqslant1\]
El ángulo de dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores. Si las rectas son:
\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\vec{p}\]
\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+k\cdot\vec{q}\],
el ángulo que forman se puede calcular despejando de la expresión del producto escalar de dos vectores:
\[\cos\alpha=\cos(\widehat{a,b})=\frac{|\vec{p}\cdot\vec{q}|}{|\vec{p}|\cdot|\vec{q}|}\]
Si usamos las componentes correspondientes:
\[\cos\alpha=\frac{|p_1\cdot q_1+p_2\cdot q_2|}{\sqrt{p_1^2+p_2^2}\cdot\sqrt{q_1^2+q_2^2}}\]
De acuerdo con lo que se ha establecido (el ángulo se encuentra entre cero y noventa grados), tomamos el numerador en valor absoluto y en el denominador, las raíces cuadradas positivas.
- Ejemplo 5
Halla el ángulo que forman las rectas
\[r\equiv\begin{cases}x=1-2k\\ y=2+3k\end{cases}\quad;\quad s\equiv\frac{x-1}{4}=\frac{y+2}{-1}\]
Los vectores directores de \(r\) y \(s\) son, respectivamente:
\[\vec{p}=(-2,3)\quad;\quad \vec{q}=(4,-1)\]
Entonces:
\[\cos\alpha=\frac{|(-2)\cdot4+3\cdot(-1)|}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{17}}=0,73994\Rightarrow\alpha=42^{\circ}16’\]
- Ejemplo 6
Las rectas
\[r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}\quad;\quad s\equiv\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-2}\]
se cortan en un punto \(A\), que es vértice de un triángulo obtusángulo en \(A\). Calcula el ángulo \(\widehat{A}\) de ese triángulo.
Los vectores directores de r y s son, respectivamente:
\[\vec{p}=(2,3)\quad;\quad\vec{q}=(1,-2)\]
Por tanto:
\[\cos\alpha=\frac{|2\cdot1+3\cdot(-2)|}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{65}}=0,49314\Rightarrow\alpha=60^{\circ}15’\]
Como el ángulo A es obtuso:
\[\widehat{A}=180^{\circ}-\alpha=119^{\circ}45’\]
