Algunas integrales casi inmediatas

En este artículo vamos a realizar tres integrales indefinidas que podemos considerar casi inmediatas. La idea es hacer algunos cambios en la función original para conseguir la integral inmediata.

Comencemos con la siguiente integral:

\[\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx\]

Para hacerla vamos a multiplicar el numerador y el denominador del radicando por \(1-x\). A partir de ahí todo se verá más claro.

\[\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx=\int\sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}}\,dx=\int\sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}}\,dx=\]

\[=\int\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)\,dx=\]

\[=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx= \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx+\int\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\,dx=\]

\[=\text{arcsen}\,x+\sqrt{1-x^2}+C\]

Ahora vamos a hacer esta otra integral:

\[\int\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}\]

Multipliquemos numerador y denominador por \(\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2\)

\[ \int\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2} =\int\frac{ \left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2 }{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2 \left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2 }\,dx=\]

\[=\int\frac{x^2+\sqrt{x^2-1}^2-2x\sqrt{x^2-1}}{\left(x^2-\sqrt{x^2-1}^2\right)^2}\,dx=\int\frac{x^2+x^2-1-2x\sqrt{x^2-1}}{\left(x^2-x^2+1\right)^2}\,dx=\]

\[\int\left(2x^2-1-2x\sqrt{x^2-1}\right)\,dx=\int2x^2\,dx-\int1\,dx-\int2x(x^2-1)^{\frac{1}{2}}\,dx=\]

\[=2\frac{x^3}{3}-x-\frac{\left(x^2-1\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C= \frac{2x^3}{3}-x-\frac{2\sqrt{(x^2-1)^3}}{3}+C=\]

\[=\frac{2}{3}\left(x^3-\sqrt{(x^2-1)^3}\right)-x+C\]

Para finalizar haremos la siguiente integral:

\[ \int\frac{dx}{x^2+2x+3} \]

Se podría pensar en descomponer la fracción \(\frac{1}{x^2+2x+3}\) en dos fracciones simples, pero es que el polinomo \(x^2+2x+3\) no tiene raíces reales (¡compruébalo). Lo que haremos es un «retoque» en el denominador para llegar a una integral del «tipo arcotangente».

\[\int\frac{dx}{x^2+2x+3}=\int\frac{1}{x^2+2x+1+2}\,dx=\int\frac{1}{2+(x+1)^2}\,dx=\]

\[\int\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{(x+1)^2}{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2}\,dx= \frac{1}{2}\sqrt{2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2}\,dx=\]

\[=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{arctg}\,\frac{x+1}{\sqrt{2}}+C\]

Las integrales como esta última se resuelven en general completando cuadrados. En la siguiente imagen se deduce una fórmula para la integral indefinida de \(\frac{1}{ax^2+bx+c}\) cuando \(ax^2+bx+c\) no tiene raíces reales. Y, claro, es una integral «tipo arcotangente».

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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