Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (5)

La primera de las integrales es racional. Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado que el polinomio del denominador, efectuamos la división. Se obtiene de cociente \(2x+1\) y de resto \(x+2\). Por tanto, como «dividendo es igual a divisor por cociente más el resto» tenemos la siguiente igualdad:

\[2x^3-x^2+2=(x^2-x)(2x+1)+(x+2)\]

Dividiendo todos los términos por \(x^2-x\) la igualdad anterior se transforma en esta otra:

\[\frac{2x^3-x^2+2}{x^2-x}=2x+1+\frac{x+2}{x^2-x}\]

Por tanto:

\[\int\frac{2x^3-x^2+2}{x^2-x}\,dx=\int(2x+1)dx+\int\frac{x+2}{x^2-x}\,dx\]

La primera de las dos integrales anteriores es inmediata. Para calcular la segunda descomponemos la fracción en fracciones simples. Claramente las raíces del denominador son \(0\) y \(1\), luego \(x^2-x=x(x-1)\). De este modo:

\[\frac{x+2}{x^2-x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)}\]

Igualando los numeradores:

\[x+2=A(x-1)+Bx\]

Sustituyendo en la igualdad anterior por \(x=0\) obtenemos \(2=-A\Rightarrow A=-2\).

Y sustituyendo por \(x=1\) tenemos \(3=B\).

Entonces:

\[\int\frac{x+2}{x^2-x}\,dx=\int\frac{-2}{x}\,dx+\int\frac{3}{x-1}\,dx=\]

\[=-2\ln{x}+3\ln{(x-1)}+C\]

Finalmente:

\[\int\frac{2x^3-x^2+2}{x^2-x}\,dx=\int(2x+1)dx+\int\frac{x+2}{x^2-x}\,dx=\]

\[=\frac{2x^2}{2}+x-2\ln{x}+3\ln{(x-1)}+C=x^2+x-2\ln{x}+3\ln(x-1)+C\]

La segunda es una integral definida. Calcularemos primero la integral indefinida usando el método de integración por partes. Posteriormente aplicaremos la regla de Barrow.

\[\int(2x-3)e^x\,dx=\begin{bmatrix}u=2x-3 & ; & dv=e^x\,dx \\ du=2\,dx & ; & v=e^x \end{bmatrix}=\]

\[=(2x-3)e^x-\int2e^x\,dx=(2x-3)e^x-2e^x+C=(2x-5)e^x+C\]

Es importante darse cuenta de que la integral definida que se pide es el área del recinto limitado por la curva \(y=(2x-3)e^x\), las rectas verticales \(x=1\), \(x=2\) y el eje de abscisas. Pero es que la curva anterior corta al eje de abscisas en el punto \(x=\frac{3}{2}\). Por tanto la integral definida la hemos de separar en dos:

\[\int_1^2(2x-3)e^x\,dx=\int_1^{3/2}(2x-3)e^x\,dx+\int_{3/2}^2(2x-3)e^x\,dx\]

Calculemos las dos integrales definidas anteriores por separado:

\[\int_1^{3/2}(2x-3)e^x\,dx=\left.(2x-5)e^x \displaystyle \right]_1^{3/2}=-2e^{3/2}+3e\cong-0,8\]

El signo negativo indica que la curva, entre \(1\) y \(\frac{3}{2}\), se encuentra por debajo del eje \(X\). En realidad el área de este recinto es igual a \(2e^{3/2}-3e\cong0,8\).

Por otro lado:

\[\int_{3/2}^2(2x-3)e^x\,dx=\left.(2x-5)e^x\displaystyle\right]_{3/2}^2=-e^2+2e^{3/2}\cong1,574\]

Podemos concluir pues que:

\[\int_1^2(2x-3)e^x\,dx=-2e^{3/2}+3e-e^2+2e^{3/2}=3e-e^2\cong0.766\]

De hecho, si aplicamos directamente la regla de Barrow obtenemos el resultado anterior.

Sin embargo, si vemos la integral definida como el área \(A\) mencionada anteriormente tendremos que:

\[A=\int_1^2(2x-3)e^x\,dx=2e^{3/2}-3e-e^2+2e^{3/2}=-3e-e^2+4e^{3/2}\cong2,38 \]

Dicha área se puede observar en la siguiente figura.