Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta B).
Enunciado
Calcula las integrales
\[\int\frac{e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx\quad;\quad\int\frac{2}{4+x^2}\,dx\]
La solución aquí
La solución aquí
Para hacer la primera integral vamos a efectuar un cambio de variable:
\[t=e^x\Rightarrow dt=e^x\,dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{t}\]
De este modo
\[\int\frac{e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx=\int\frac{t}{t-\frac{1}{t}}\frac{dt}{t}=\int\frac{1}{t-\frac{1}{t}}\,dt=\int\frac{t}{t^2-1}\,dt\]
Esta última integral es inmediata. Se aprecia con claridad que va a ser de tipo logarítmico pues en el numerador está «casi» la derivada del denominador.
\[\int\frac{t}{t^2-1}\,dt=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2-1}\,dt=\frac{1}{2}\ln(t^2-1)+C\]
Deshaciendo el cambio tenemos:
\[\int\frac{e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx=\frac{1}{2}\ln(e^{2x}-1)+C\]
La segunda integral es claramente de tipo arcotangente. Recordemos que
\[\int\frac{f'(x)}{1+f(x)^2}\,dx=\text{arctg}\,f(x)+C\]
Entonces, retocando un poco tenemos:
\[\int\frac{2}{4+x^2}\,dx=\int\frac{\frac{2}{4}}{1+\frac{x^2}{4}}\,dx=\int\frac{\frac{1}{2}}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}\,dx=\text{arctg}\frac{x}{2}+C\]
