Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).
Enunciado
a) Sabiendo que \(A\) es una matriz cuadrada de orden 2 tal que \(|A|=5\), calcula razonadamente el valor de los determinantes
\[|-A|\quad;\quad|A^{-1}|\quad;\quad|A^T|\quad;\quad|A^3|\]
b) Sabiendo que
\[\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1
\end{array}
\right|=2\]
calcula, usando las propiedades de los determinantes,
\[\left|\begin{array}{ccc}
3-a & -b & 1-c \\
1+a & 1+b & 1+c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|\quad\text{y}\quad\left|\begin{array}{cccc}
5 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 2a & 2b & 2c \\
0 & 30 & 0 & 10 \\
1 & 4 & 4 & 4
\end{array}
\right|\]
La solución aquí
La solución aquí
Antes de resolver el ejercicio se recomienda leer los artículos Determinantes y Determinantes. Propiedades y ejercicios.
a) \(|-A|=|-1\cdot A|=|-1|\cdot|A|=1\cdot5=5\).
Como \(A\cdot A^{-1}=I\) donde \(I\) es la matriz identidad, se tiene que \(|A\cdot A^{-1}|=|I|=1\). Ahora, puesto que el determinante del producto es el producto de los determinantes: \(|A|\cdot|A^{-1}|=1\) y de aquí \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{5}\).
El determinante de una matriz cuadrada es igual que el determinante de su traspuesta: \(|A|=|A^T|=5\).
\(|A^3|=|A\cdot A\cdot A|=|A|\cdot|A|\cdot|A|=5\cdot5\cdot5=125\).
b) Primer determinante.
\[\left|\begin{array}{ccc}
3-a & -b & 1-c \\
1+a & 1+b & 1+c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|=\]
\[=\left|\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
1+a & 1+b & 1+c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|+\left|\begin{array}{ccc}
-a & -b & -c \\
1+a & 1+b & 1+c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|=(\ast)\]
Se ha descompuesto el determinante en dos usando los sumandos de la primera fila. El segundo de los determinantes de la suma es cero porque tiene dos filas proporcionales (la primera y la tercera). A continuación vamos a descomponer el primer determinante de la suma en otros dos usando los sumandos de la segunda fila.
\[(\ast)=\left|\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|+\left|\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
a & b & c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|=3\cdot\left|\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
a & b & c
\end{array}
\right|=\]
\[=-3\cdot\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1
\end{array}
\right|=-3\cdot2=-6\]
El segundo de los sumandos vuelve a ser nulo por ser la tercera fila proporcional a la segunda. Luego hemos sacado 3 factor común del primer determinante y hemos cambiado el signo por intercambiar las filas primera y tercera.
Segundo determinante.
Desarrollando por los elementos de la primera fila, extrayendo factores de las filas correspondientes e intercambiando las dos últimas filas, tenemos:
\[\left|\begin{array}{cccc}
5 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 2a & 2b & 2c \\
0 & 30 & 0 & 10 \\
1 & 4 & 4 & 4
\end{array}
\right|=5\cdot\left|\begin{array}{ccc}
2a & 2b & 2c \\
30 & 0 & 10 \\
4 & 4 & 4
\end{array}
\right|=5\cdot2\cdot10\cdot4\cdot\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right|=\]
\[=-400\cdot\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1
\end{array}
\right|=-400\cdot2=-800\]
