Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (8)

En primer lugar es conveniente observar que el dominio de la función es todo \(\mathbb{R}\) ya que \(x^2+x+1>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).

a) La derivada de \(f\) es

\[f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\]

Entonces:

\[ f'(x)=0\Leftrightarrow\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=0\Leftrightarrow2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\]

Se tiene claramente que

\[\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}<0\Leftrightarrow x<-\frac{1}{2}\]

\[\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}>0\Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}\]

Por tanto, \(f\) es estrictamente decreciente en \((-\infty,\, -\frac{1}{2})\), y estrictamente creciente en \(( -\frac{1}{2} ,\,+\infty)\). Además, puesto que en \(x=-\frac{1}{2}\) la función pasa de ser decreciente a ser creciente, en el punto \(x=-\frac{1}{2}\) hay un mínimo relativo. Y como

\[f\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{7}{4}}= \frac{\sqrt{7}}{2}\]

las coordenadas del mínimo relativo son

\[\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2}\right)\]

b) Estudiemos el límite cuando \(x\rightarrow+\infty\) de \(\dfrac{f(x)}{x}\):

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}= \lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=1\]

Estudiemos ahora el límite cuando \(x\rightarrow+\infty\) de \(f(x)-x\):

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{ \left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x+1}+x\right) }{ \sqrt{x^2+x+1}+x }=\]

\[=\lim_{x\to+\infty}\frac{ x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x }= \lim_{x\to+\infty} \frac{1+1/x}{\sqrt{1+1/x+1/x^2}+1}=\frac{1}{2}\]

Por tanto, la asíntota oblicua cuando \(x\rightarrow+\infty\) es

\[y=x+\frac{1}{2}\]