Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2015 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).
Enunciado
Dada la función \(f(x)=e^{\text{sen}\,x}+x^2+ax+b\,\); \(\ a,\,b\in\mathbb{R}\):
a) Determina los parámetros \(a,\,b\in\mathbb{R}\) sabiendo que la gráfica de \(f(x)\) pasa por el punto \((0,2)\) y que en dicho punto tiene un extremo relativo. [1,5 puntos]
b) Para los valores de los parámetros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un máximo o un mínimo. [1 punto]
La solución aquí
La solución aquí
a) Como la gráfica de \(f(x)\) pasa por el punto \((0,2)\) tenemos que:
\[f(0)=2\Leftrightarrow e^{\text{sen}\,0}+0^2+a\cdot0+b=2\Leftrightarrow e^0+b=2\Leftrightarrow1+b=2\Leftrightarrow b=1\]
Al ser \(x=0\) un extremo relativo, \(f'(0)=0\). Pero \(f'(x)=e^{\text{sen}\,x}\cos x+2x+a\).
Entonces:
\[f'(0)=0\Leftrightarrow e^{\text{sen}\,0}\cos 0+2\cdot0+a=0\Leftrightarrow e^0+a=0\Leftrightarrow 1+a=0\Leftrightarrow a=-1\]
b) Para los valores de \(a\) y \(b\) encontrados en el apartado anterior la función es \(f(x)=e^{\text{sen}\,x}+x^2-x+1\), cuya derivada es \(f'(x)=e^{\text{sen}\,x}\cos x+2x-1\), de donde la segunda derivada es
\[f\,” (x)=e^{\text{sen}\,x}\cos^2x+e^{\text{sen}\,x}(-\text{sen}\,x)+2=e^{\text{sen}\,x}(\cos^2x-\text{sen}\,x)+2\]
Entonces:
\[f \,” (0)=e^{\text{sen}\,0}(\cos^0-\text{sen}\,0)+2=e^0(1-0)+2=1+2=3>0\]
Por el criterio de la derivada segunda, tenemos que \(x=0\) es un mínimo relativo de la función \(f\).
