Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Este ejercicio de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II fue propuesto en junio de 2015 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (Propuesta A – Ejercicio nº 2).
Enunciado
En un coro, la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos es igual a 15. Un día que tuvieron que cantar faltaron 2 mezzosopranos y 1 contralto debido a la gripe, de tal forma que ese día el número de sopranos era igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos. Y además ese día el número de mezzosopranos y el número de contraltos coincidían.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita averiguar el número total de sopranos, mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente.
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.
La solución aquí
La solución aquí
a) Llamemos \(x\), \(y\), \(z\), respectivamente, al número de sopranos, mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente.
Como la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos es igual a 15, tenemos que \(x+y+z=15\).
Puesto que un día que tuvieron que cantar faltaron 2 mezzosopranos y 1 contralto debido a la gripe, ese día había \(y-2\) mezzosopranos y \(z-1\) contraltos. Pero además, ese día, el número de sopranos era igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos, es decir \(x=\frac{y-2+z-1}{2}\).
Por último, el día al que se hace refencia en el párrafo anterior, el número de mezzosopranos y el número de contraltos coincidían. O sea que \(y-2=z-1\).
Por tanto, el sistema de ecuaciones que permite averiguar el número total de sopranos, mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente, es el siguiente:
\[\begin{cases}x+y+z=15\\[0.1 cm]\displaystyle x=\frac{y-2+z-1}{2}\\[0.1 cm]y-2=z-1\end{cases}\]
b) Eliminando denominadores y expresando los términos con incógnita en el primer miembro, el sistema anterior lo podemos expresar equivalentemente así:
\[\begin{cases}x+y+z=15\\2x=y+z-3\\y-2=z-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y+z=15\\2x-y-z=-3\\y-z=1\end{cases}\]
Vamos a resolver este último sistema usando el método de Gauss. La matriz asociada al sistema es:
\[\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&15\\2&-1&-1&-3\\0&1&-1&1\end{array}\right)\]
Si a la segunda fila le restamos la primera multiplicada previamente por 2, obtenemos:
\[\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&15\\0&-3&-3&-33\\0&1&-1&1\end{array}\right)\]
Y ahora, si multiplicamos la tercera fila por 3 y le sumamos la segunda, nos queda la siguiente matriz:
\[\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&15\\0&-3&-3&-33\\0&0&-6&-30\end{array}\right)\]
El sistema asociado a esta última matriz (equivalente al sistema inicial, es decir, con las mismas soluciones), es el siguiente:
\[\begin{cases}x+y+z=15\\-3y-3z=-33\\-6z=-30\end{cases}\]
De la última ecuación se obtiene inmediatamente que \(z=5\). Sustituyendo este valor en la segunda ecuación:
\[-3y-15=-33\Rightarrow-3y=-18\Rightarrow y=6\]
Finalmente, sustituyendo los valores de \(y\) y de \(z\) en la primera ecuación:
\[x+6+5=15\Rightarrow x=4\]
Por tanto, el coro tiene asiduamente 4 sopranos, 6 mezzosopranos y 5 contraltos.
