Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Este ejercicio de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II fue propuesto en septiembre de 2020 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para el Acceso a la Universidad (Sección 3 – Bloque 1 – Ejercicio nº 6).
Enunciado
Dadas las matrices
\[A=\left(\begin{array}{cc}2&4\\1&0\end{array} \right )\ \text{y} \ B=\left(\begin{array}{cc}-1&3\\1&-5\end{array} \right )\]
a) Calcula \(\left(A-B\right)^2\).
b) ¿Se podría calcular la matriz inversa de \(\left(A-B\right)^2\)?
c) ¿Qué propiedad tienen que cumplir dos matrices \(A\) y \(B\) para que se cumpla \(\left(A-B\right)^2=A^2-2AB+B^2\)?
La solución aquí
La solución aquí
a) En primer lugar calculemos la matriz \(A-B\):
\[A-B=\left(\begin{array}{cc}2&4\\1&0\end{array} \right )-\left(\begin{array}{cc}-1&3\\1&-5\end{array} \right )=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&5\end{array} \right )\]
Entonces:
\[\left(A-B\right)^2=(A-B)\cdot(A-B)=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&5\end{array} \right )\cdot\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&5\end{array} \right )=\left(\begin{array}{cc}9&8\\0&25\end{array} \right )\]
b) Recordemos que una matriz cuadrada tiene inversa si, y solamente si, su determinante es distinto de cero. Calculemos pues el determinante de la matriz \((A-B)^2\).
\[\left|(A-B)^2\right|=\left|\begin{array}{cc}9&8\\0&25\end{array}\right|=9\cdot25-0\cdot8=225\neq0\]
Por tanto, sí que se podría calcular la inversa de la matriz \(\left(A-B\right)^2\).
c) Usando las propiedades del producto y la suma de matrices:
\[\left(A-B\right)^2=\left(A-B\right)\cdot\left(A-B\right)=A\cdot(A-B)-B\cdot(A-B)=\]
\[=A\cdot A-A\cdot B-B\cdot A+B\cdot B=A^2-AB-BA+B^2\]
Entonces, para que se cumpla que
\[\left(A-B\right)^2=A^2-2AB+B^2\]
debería ser
\[A^2-AB-BA+B^2=A^2-2AB+B^2\]
Cancelando los términos \(A^2\) y \(B^2\) de ambos miembros de la igualdad llegamos a
\[-AB-BA=-2AB\]
Y como \(-2AB=-AB-AB\):
\[-AB-BA=-AB-AB\]
Y de aquí:
\[-AB-BA=-AB-AB\Rightarrow-AB-BA+AB+AB=O\Rightarrow\]
\[\Rightarrow -BA+AB=O\Rightarrow AB=BA\]
En definitiva, para que se cumpla que \(\left(A-B\right)^2=A^2-2AB+B^2\), las matrices \(A\) y \(B\) tienen que conmutar, es decir, se ha de cumplir que \(AB=BA\), cosa que, en general, no se cumple para el producto de matrices.
