Acceso Universidad Matemáticas CCSS II – Matrices y determinantes (1)

Este ejercicio de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II fue propuesto en septiembre de 2020 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para el Acceso a la Universidad (Sección 3 – Bloque 1 – Ejercicio nº 6).

Enunciado

Dadas las matrices

\[A=\left(\begin{array}{cc}2&4\\1&0\end{array} \right )\ \text{y} \ B=\left(\begin{array}{cc}-1&3\\1&-5\end{array} \right )\]

a) Calcula \(\left(A-B\right)^2\).

b) ¿Se podría calcular la matriz inversa de \(\left(A-B\right)^2\)?

c) ¿Qué propiedad tienen que cumplir dos matrices \(A\) y \(B\) para que se cumpla \(\left(A-B\right)^2=A^2-2AB+B^2\)?

La solución aquí

La solución aquí

a) En primer lugar calculemos la matriz \(A-B\):

\[A-B=\left(\begin{array}{cc}2&4\\1&0\end{array} \right )-\left(\begin{array}{cc}-1&3\\1&-5\end{array} \right )=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&5\end{array} \right )\]

Entonces:

\[\left(A-B\right)^2=(A-B)\cdot(A-B)=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&5\end{array} \right )\cdot\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&5\end{array} \right )=\left(\begin{array}{cc}9&8\\0&25\end{array} \right )\]

b) Recordemos que una matriz cuadrada tiene inversa si, y solamente si, su determinante es distinto de cero. Calculemos pues el determinante de la matriz \((A-B)^2\).

\[\left|(A-B)^2\right|=\left|\begin{array}{cc}9&8\\0&25\end{array}\right|=9\cdot25-0\cdot8=225\neq0\]

Por tanto, sí que se podría calcular la inversa de la matriz \(\left(A-B\right)^2\).

c) Usando las propiedades del producto y la suma de matrices:

\[\left(A-B\right)^2=\left(A-B\right)\cdot\left(A-B\right)=A\cdot(A-B)-B\cdot(A-B)=\]

\[=A\cdot A-A\cdot B-B\cdot A+B\cdot B=A^2-AB-BA+B^2\]

Entonces, para que se cumpla que

\[\left(A-B\right)^2=A^2-2AB+B^2\]

debería ser

\[A^2-AB-BA+B^2=A^2-2AB+B^2\]

Cancelando los términos \(A^2\) y \(B^2\) de ambos miembros de la igualdad llegamos a

\[-AB-BA=-2AB\]

Y como \(-2AB=-AB-AB\):

\[-AB-BA=-AB-AB\]

Y de aquí:

\[-AB-BA=-AB-AB\Rightarrow-AB-BA+AB+AB=O\Rightarrow\]

\[\Rightarrow -BA+AB=O\Rightarrow AB=BA\]

En definitiva, para que se cumpla que \(\left(A-B\right)^2=A^2-2AB+B^2\), las matrices \(A\) y \(B\) tienen que conmutar, es decir, se ha de cumplir que \(AB=BA\), cosa que, en general, no se cumple para el producto de matrices.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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