Matemáticas Secundaria y Bachillerato Apuntes, ejercicios, exámenes y artículos de matemáticas
Este ejercicio de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II fue propuesto en septiembre de 2020 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para el Acceso a la Universidad (Sección 2 – Bloque 2 – Ejercicio nº 3).
Enunciado
Se considera la función
\[f(x)=\begin{cases}x-t&\text{si}&x\leqslant0\\(x-t)^2-5(x+t)+4&\text{si}&x>0\end{cases}\]
a) ¿Para qué valor de \(t\) la función \(f(x)\) es continua en \(x=0\)?
b) Para \(t=0\), calcula los extremos relativos de la función \(f(x)\) en el intervalo \((0,+\infty)\).
c) Para \(t=0\), calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \(f(x)\) en \((0,+\infty)\).
La solución aquí
La solución aquí
a) La función \(f\) está formada por dos trozos: una función polinómica de grado 1 (una recta) a la izquierda de cero, y una función polinómica de grado 2 (una parábola) a la derecha de cero. Por tanto \(f\) es continua en \(\mathbb{R}-\{0\}\) (las funciones polinómicas son continuas en todo \(\mathbb{R}\)).
Justamente en \(x=0\) la función pasa de ser una cosa (recta) a ser otra (parábola). La función será continua en \(x=0\) cuando ambos trozos «peguen» bien. Desde el punto de vista matemático esto ocurre cuando existe el límite de la función en \(x=0\) y este coincide con la imagen de la función en dicho punto. Es decir, ha de ocurrir que
\[\lim_{x\to0}f(x)=f(0)\]
Para que exista el límite de la función en un punto, en este caso en \(x=0\), han de existir los límites laterales y ser iguales, es decir, ha de ocurrir que
\[\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)\]
Calculemos pues los límites laterales e igualemos ambos:
\[\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x-t)=-t\]
\[\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\left((x-t)^2-5(x+t)+4\right)=t^2-5t+4\]
Observa que la primera de las expresiones anteriores es también la imagen de la función en cero: \(f(0)\). Igualando pues las dos expresiones anteriores y resolviendo la ecuación resultante:
\[-t=t^2-5t+4\Leftrightarrow t^2-4t+4=0\Leftrightarrow (t-2)^2=0\Leftrightarrow t=2\]
Por tanto, \(f\) es continua en \(x=0\) si \(t=2\).
De hecho, en este caso, la función es la siguiente:
\[f(x)=\begin{cases}x-2&\text{si}&x\leqslant0\\(x-2)^2-5(x+2)+4&\text{si}&x>0\end{cases}\]
y claramente
\[\lim_{x\to0}f(x)=-2=f(0)\]
Si \(t=0\), en el intervalo \((0,+\infty)\), la función adopta la siguiente expresión:
\[(x-0)^2-5(x+0)+4=x^2-5x+4\]
Consideraremos pues, para hacer los apartados b) y c), la restricción de la función \(f\) al intervalo \((0,+\infty)\), es decir, la función \(f(x)=x^2-5x+4\).
La derivada de \(f\) es:
\[f'(x)=2x-5\]
Igualándola a cero tenemos:
\[f'(x)=0\Leftrightarrow 2x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\]
Además, como \(f»(x)=2>0\,\forall\,x\in(0,+\infty)\), por el criterio de la derivada segunda podemos afirmar que \(x=\dfrac{5}{2}\) es un mínimo relativo de la función \(f\).
Puesto que
\[f\left(\frac{5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)^2-5\cdot\frac{5}{2}+4=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+4=-\frac{9}{4}\]
las coordenadas del punto mínimo son \(\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{9}{4}\right)\).
Como la función \(f\) tiene un mínimo en \(x=\dfrac{5}{2}\) y es continua en el intervalo \((0.+\infty)\), podemos deducir que es decreciente en el intervalo \(\left(0,\dfrac{5}{2}\right)\), y creciente en el intervalo \(\left(\dfrac{5}{2},+\infty\right)\). Esto también se podría haber hecho usando el criterio de la derivada primera ya que
\[f'(x)>0\Leftrightarrow2x-5>0\Leftrightarrow x>\frac{5}{2}\Leftrightarrow x\in\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\]
\[f'(x)<0\Leftrightarrow2x-5<0\Leftrightarrow x<\frac{5}{2}\Leftrightarrow x\in\left(0,\frac{5}{2}\right)\]
Todo lo anterior responde a los apartados b) y c) del problema.
