5 ejercicios sobre continuidad, límites y derivadas

\(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) salvo, quizá, en \(x=-2\) y en \(x=1\). Esto es porque cada uno de los trozos en los que está definida \(f\) son funciones polinómicas y racionales, continuas en todo su dominio de definición. Estudiemos pues la continuidad en los puntos anteriores.

\(x=-2\)

Calculemos los límites laterales.

\[\lim_{x\rightarrow-2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow-2^-}\frac{x^2-4}{x+2}=\left[\text{INDETERMINACIÓN}\ \frac{0}{0}\right]=\]

\[=\lim_{x\rightarrow-2^-}\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow-2^-}(x-2)=-4\ \ \text{;}\]

\[\lim_{x\rightarrow-2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow-2^+}(-2x-4)=0\]

Como \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2^-}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow-2^+}f(x)\), entonces no existe \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2}f(x)\) y, por tanto, \(f\) no es continua en \(x=-2\). En tal punto hay una discontinuidad de salto finito por ser los límites laterales finitos y distintos.

\(x=1\)

Calculemos los límites laterales.

\[\lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^-}(-2x-4)=-6\ \ \text{;}\]

\[\lim_{x\rightarrow1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{-6}{2x-1}=-6\]

Como los límites laterales son iguales y finitos, entonces existe el límite cuando \(x\) tiende a \(1\) y tiene el mismo valor:

\[\lim_{x\rightarrow1}f(x)=-6\]

Sin embargo \(f(1)=5\). Por tanto

\[\lim_{x\rightarrow1}f(x)=-6\neq f(1)=5\]

Como el límite de la función en el punto no coincide con la imagen de la función en el punto, \(f\) no es continua en \(x=1\). Hay una discontinuidad evitable en dicho punto.

Representación gráfica de la función:

a) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-3x^3+4x-5}{2x^2+4x-5}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-3x^3}{2x^2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-3x}{2}=+\infty\)

Recuerda que si \(x\rightarrow\pm\infty\) el límite de una función racional también es \(\pm\infty\). El signo del infinito dependerá de los términos de mayor grado del numerador y del denominador que son los «dominantes» en un polinomio cuando \(x\rightarrow\pm\infty\).

b) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{3x^2-x^3+10x}{-x^2-5x-6}=\left[\text{INDETERMINACIÓN}\ \frac{0}{0}\right]=\quad(*)\)

En este caso, para resolver la indeterminiación, hemos de simplificar la fracción algebraica. Para ello factorizamos el polinomio del numerador y del denominador.

\((*)\quad=\displaystyle\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{(x+2)(-x^2+5x)}{(x+2)(-x-3)}=\lim_{x\rightarrow-2}\dfrac{-x^2+5x}{-x-3}=\dfrac{-14}{-1}=14\)

c) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-\sqrt{x^4-2x^2}}{-x^2+2}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{(x^2-\sqrt{x^4-2x^2})(x^2+\sqrt{x^4-2x^2})}{(-x^2+2)(x^2-\sqrt{x^4+2x^2})}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^4-x^4+2x^2}{(-x^2+2)(x^2-\sqrt{x^4+2x^2})}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2}{(-x^2+2)(x^2-\sqrt{x^4+2x^2})}=0\)

El último límite es igual a \(0\) porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador (el grado del numerador es \(2\) y el del denominador es \(4\)). Esto ya se podía percibir en el límite de la función original, pero hemos multiplicado y dividido por el conjugado del numerador para que se se vea con más claridad.

d) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\frac{1}{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\displaystyle\dfrac{1-x}{x}}{\sqrt{x}-1}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1-x}{x\left(\sqrt{x}-1\right)}=\left[\text{INDETERMINACIÓN}\ \frac{0}{0}\right]=\ (*)\)

Para resolver la indeterminación multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de \(\sqrt{x}-1\)

\((*)\ =\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(1-x)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{(1-x)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x(x-1)}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{-(x-1)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x(x-1)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{-\left(\sqrt{x}+1\right)}{x}=\dfrac{-2}{1}=-2\)

Es importante observar que para simplificar la expresión \(\dfrac{(1-x)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x(x-1)}\) (que también da lugar a la inderteminación «cero partido por cero»), se ha usado la siguiente igualdad: \(1-x=-(x-1)\). En general, para cualesquiera números reales \(a\) y \(b\), se cumple claramente que \(a-b=-(b-a)\).

Si igualamos a cero el denominador obtenemos los números reales que no pertenecen al dominio de la función. Como las soluciones de la ecuación \(x^2-2x-3=0\) son \(x=-1\) y \(x=3\), entonces \(\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-1\,,\,3\}\).

Calculemos ahora los límites de la función en los puntos anteriores pues, de obtener como resultado infinito en alguno de ellos o en ambos, estos darían lugar a asíntotas verticales.

\[\lim_{x\rightarrow-1}\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=\left[\frac{2}{0}\right]=\begin{cases}+\infty&\text{si}&x\rightarrow-1^-\\-\infty&\text{si}&x\rightarrow-1^+\end{cases}\]

\[\lim_{x\rightarrow3}\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=\left[\frac{-50}{0}\right]=\begin{cases}+\infty&\text{si}&x\rightarrow3^-\\-\infty&\text{si}&x\rightarrow3^+\end{cases}\]

De lo anterior se desprende que las rectas \(x=-1\) y \(x=3\) son asíntotas verticales. Además, las tendencias a la izquierda y a la derecha de tales puntos nos permiten dibujar las correspondientes ramas hacia \(+\infty\) o hacia \(-\infty\) de la función.

Por otro lado, como \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=-\infty\), \(f\) no tiene asíntotas horizontales. Pero sí que sabemos que en \(-\infty\) y en \(+\infty\) la función tiene ramas infinitas. Si la función tuviera alguna asíntota oblicua esas ramas infinitas serían asintóticas. Veámoslo a continuación.

De la división del polinomio \(-2x^3+x+1\) entre el polinomio \(x^2-2x-3\) se obtiene de cociente \(-2x-4\) y de resto \(-13x-11\). Por tanto:

\[-2x^3+x+1=(x^2-2x-3)(-2x-4)+(-13x-11)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}=-2x-4+\frac{-13x-11}{x^2-2x-3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{-2x^3+x+1}{x^2-2x-3}-(-2x-4)=\frac{-13x-11}{x^2-2x-3}\]

De lo anterior se deduce que \(y=-2x-4\) es una asíntota oblicua. La última de las igualdades anteriores nos indica si la rama asintótica correspondiente está por encima o por debajo de tal asíntota oblicua. Si el signo de \(\frac{-13x-11}{x^2-2x-3}\) es mayor que cero para valores «muy grandes y positivos» la rama infinita estará por encima de la asíntota oblicua; en caso contrario, si el signo es menor que cero, la rama infinita estará por debajo de la asíntota oblicua. Algo similar ocurre si al mismo cociente le damos valores «muy grandes y negativos».

Finalmente, antes de dibujar la función, hallemos los puntos de corte con los ejes.

Si resolvemos la ecuación \(-2x^3+x+1=0\) obtendremos los puntos de coordenada \(y\) igual a cero y, por tanto, los puntos de corte con el eje \(X\). La ecuación anterior tiene una raíz entera: \(x=1\), con lo que \(-2x^3+x+1=0\Leftrightarrow(x-1)(-2x^2-2x-1)=0\). La ecuación \(-2x^2-2x-1=0\) no tiene soluciones reales. Por tanto el único punto de corte con el eje \(X\) es \((1\,,\,0)\). Por otro lado, si hacemos \(x=0\) obtenemos \(y=-\dfrac{1}{3}\), con lo que el punto de corte con el eje \(Y\) es \(\left(0\,,\,-\dfrac{1}{3}\right)\).

La representación gráfica de la función es la siguiente (incluye asíntotas):

La derivada en \(x=2\) será igual al valor del siguiente límite, caso de existir: \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\). Es fácil calcular la imagen de \(2\): \(f(2)=\dfrac{2^2}{3\cdot2-1}=\dfrac{4}{5}\) Calculemos ya el límite anterior:

\[\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{\displaystyle\frac{x^2}{3x-1}-\frac{4}{5}}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{\displaystyle\frac{5x^2-4(3x-1)}{5(3x-1)}}{x-2}=\]

\[=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{5x^2-12x+4}{5(3x-1)(x-2)}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{(x-2)(5x-2)}{5(3x-1)(x-2)}=\]

\[=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{5x-2}{5(3x-1)}=\frac{5\cdot2-2}{5(3\cdot2-1)}=\frac{8}{25}\]

Por tanto \(f'(2)=\dfrac{8}{25}\).

a) \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x-x^3}{3}=\dfrac{1}{3}(2x^2-3x-x^3)\Rightarrow\)

\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{3}(4x-3-3x^2)=\dfrac{-3x^2+4x-3}{3}=-x^2+\dfrac{4x}{3}-1\)

b) \(f(x)=\dfrac{2-3x}{x^2-1}\). Usemos la regla de derivación de un cociente.

\(f'(x)=\dfrac{-3\cdot(x^2-1)-(2-3x)\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\dfrac{-3x^2+3-4x+6x^2}{(x^2-1)^2}=\)

\(=\dfrac{3x^2-4x+3}{(x^2-1)^2}\)

c) \(f(x)=x\cdot\left(\sqrt{x}+x\right)\). Aplicamos ahora la regla de derivación de un producto.

\(f'(x)=1\cdot(\sqrt{x}+x)+x\cdot\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)=\sqrt{x}+x+\dfrac{x}{2\sqrt{x}}+x=\)

\(=\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}}+2x=\dfrac{2x+x+4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3x\sqrt{x}+4x^2}{2x}=\dfrac{3\sqrt{x}+4x}{2}\)

d) \(f(x)=\left(-3x+\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot x=-3x^2+\dfrac{x}{x^2}=-3x^2+\dfrac{1}{x}\). Sabemos que la derivada de \(y=\dfrac{1}{x}\) es \(y’=-\dfrac{1}{x^2}\). Entonces \(f'(x)=-6x-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{-6x^3-1}{x^2}\)