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Acceso Universidad Matemáticas II. Integrales y áreas (6)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en julio de 2019 por la Universidad de Castilla-La Mancha en la Evaluación para el Acceso a la Universidad (propuesta A).

Enunciado

a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones \(f(x)=16-x^2\) y \(g(x)=(x+2)^2-4\).

b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \(f(x)=16-x^2\) en el punto de abscisa \(x=1\).

La solución aquí

La solución aquí

a) Calculemos en primer lugar el punto donde se cortan ambas curvas.

\[16-x^2=(x+2)^2-4\Leftrightarrow16-x^2=x^2+4x+4-4\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow 2x^2+2x-16=0\Leftrightarrow x^2+2x-8=0 \Leftrightarrow \begin{cases}x_1=-4\\x_2=2\end{cases}\]

Ambas curvas corresponden a parábolas. Como \(f\) se abre hacia abajo y \(g\) se abre hacia arriba, justamente entre los puntos \(x=-4\) y \(x=2\) hallados anteriormente, la gráfica de \(f\) está por encima de la gráfica de \(g\). El área \(A\) comprendida entre ambas se puede apreciar en la siguiente figura:

Este área se puede calcular así: \(\displaystyle A=\int_{-4}^2\left(f(x)-g(x)\right)dx\).

Pero

\[f(x)-g(x)=16-x^2-\left((x+2)^2-4\right)=\]

\[=16-x^2-x^2-4x-4+4=-2x^2-4x+16\]

Entonces

\[A=\int_{-4}^2\left(-2x^2-4x+16\right)dx=\left[\frac{-2x^3}{3}-2x^2+16x\right]_{-4}^2=\]

\[\left(\frac{-16}{3}-8+32\right)- \left(\frac{128}{3}-32-64\right)=\frac{56}{3}-\left(-\frac{160}{3}\right)=\frac{256}{3}=72\]

Por tanto el área del recinto es \(A=72\ \text{uds}^2\).

b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \(f(x)=16-x^2\) en el punto \(x=1\) viene dada por

\[y-f(1)=f'(1)(x-1)\]

La derivada de \(f\) es \(f'(x)=-2x\). Entonces \(f'(1)=-2\). Además \(f(1)=15\). Por tanto, la recta buscada es

\[y-15=-2(x-1)\Leftrightarrow y=-2x+17\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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