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Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2019 por la Universidad de Valencia en las pruebas de acceso a la universidad (opción A).

Enunciado

Se dan la matriz \(\displaystyle A=\left(\begin{array}{rcc}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{array}\right)\) que depende del parámetro real \(a\), y una matriz cuadrada \(B\) de orden \(3\) tal que \(B^{\,2}=\dfrac{1}{3}I-2B\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden \(3\).

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El rango de la matriz \(A\) en función del parámetro \(a\) y el determinante de la matriz \(2A^{-1}\) cuando \(a=1\).

b) Todas las soluciones del sistema de ecuaciones \(\displaystyle A\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1\\2\\0\\\end{array}\right)\) cuando \(a=-1\).

c) La comprobación de que \(B\) es invertible, encontrando \(m\) y \(n\) tales que \(B^{-1}=mB+nI\).

La solución aquí

La solución aquí

a) Calculemos el determinante de la matriz \(A\):

\[\left|A\right|=(a^2+a-2a^2+2a)-(-3a^2-3a+2a-2)=2a^2+4a+2\]

Entonces

\[|A|=0\Leftrightarrow 2a^2+4a+2=0\Leftrightarrow2(a^2+2a+1)=0\Leftrightarrow2(a+1)^2=0\Leftrightarrow a=-1\]

Por tanto, si \(a\neq-1\), el rango de \(A\) es \(3\), y si \(a=-1\) el rango de \(A\) es \(2\). En este último caso es fácil ver que hay un menor de orden dos distinto de cero. Por ejemplo, el siguiente menor de orden dos es distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{rr} 1&0\\-3&-2\end{array}\right|=-2-0=-2\neq0\]

b) Ya hemos visto en el apartado anterior que si \(a=-1\) el rango de la matriz \(A\) es igual a \(2\). En este caso la matriz ampliada \(B\) es:

\[B=\left(\begin{array}{rrrr}1&0&-1&-1\\-2&0&2&2\\-3&-2&-1&0\end{array}\right)\]

En esta matriz la segunda fila es igual a la primera multiplicada por \(-2\). Esto quiere decir que su rango no puede ser \(3\). Por tanto, si llamamos \(n\) al número de incógnitas:

\[\text{rango}\,A=\text{rango}\,B=2<3=n\]

Y de aquí deducimos que el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Eliminando la segunda ecuación y llamando \(z=\lambda\in\mathbb{R}\), el sistema adopta la siguiente forma:

\[\begin{cases}x-z=-1\\-3x-2y-z=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=\lambda-1\\-3x-2y=\lambda\end{cases} \]

Despejando \(y\) de la segunda ecuación:

\[-2y=3\lambda-3+\lambda\Rightarrow-2y=-4\lambda-3\Rightarrow y=-2\lambda+\frac{3}{2}\]

Resumiendo, las infinitas soluciones del sistema vienen dadas por

\[x=\lambda-1\quad;\quad y=-2\lambda+\frac{3}{2}\quad;\quad z=\lambda\]

c) Puesto que \(B^{\,2}=\dfrac{1}{3}I-2B\) tenemos:

\[B^{\,2}+2B=\frac{1}{3}I\Rightarrow B(B+2I)=\frac{1}{3}I\Rightarrow3B(B+2I)=I\Rightarrow B(3B+6I)=I \]

De aquí se deduce claramente que \(B^{-1}=3B+6I\). Por tanto, \(m=2\) y \(n=6\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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