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¿Te atreves? Un problema de matemáticas (5)

Este uno de esos típicos problemas de matemáticas que suelen aparecer en los últimos cursos de la educación secundaria obligatoria, incluso en primero de bachillerato. Se trata de un problema sobre grifos y depósitos. El enunciado es el siguiente.

  • Enunciado

Dos grifos llenan un depósito de 1500 litros en una hora y doce minutos. Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo. ¿Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado?

La solución aquí

La solución aquí

Es frecuente resolver este tipo de problemas reduciendo a la unidad de tiempo. Por ejemplo, si un grifo tarda 8 horas en llenar un depósito, es evidente que, en una hora llenará la octava parte del depósito. Es decir \(\dfrac{1}{8}\) del depósito.

En nuestro problema, digamos que el primer grifo llena el depósito en \(x\) horas, y que el segundo grifo lo llena en \(y\) horas. Entonces, en una hora, el primer grifo llena \(\dfrac{1}{x}\) del depósito, y el segundo grifo llena \(\dfrac{1}{y}\) del depósito.

De este modo, los dos grifos manando juntos llenarán, en una hora, \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) del depósito. Pero sabemos que los dos grifos manando juntos llenan el depósito en 1 hora y 12 minutos, tiempo que si lo pasamos a horas son \(\dfrac{6}{5}\) de hora (este cálculo se deja al avispado lector). Es decir, los dos juntos, en una hora llenarán \(\dfrac{1}{6/5}=\dfrac{5}{6}\) del depósito. Pues bien, ya podemos plantear una ecuación: lo que llena el primero en una hora, más lo que llena el segundo en una hora es igual (obviamente) a lo que llenan los dos juntos en una hora. Simbólicamente:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\]

Pero es que, además, el enunciado dice que, manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo. O sea:

\[x=y+1\]

Si sustituimos este valor en la ecuación anterior, tenemos:

\[\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\Rightarrow6y+6y+6=5y^2+5y\Rightarrow 5y^2-7y-6=0\]

Si se resuelve la última ecuación de segundo grado se obtienen las soluciones

\[y=-\frac{3}{5}\quad;\quad y=2\]

La primera solución no tiene sentido en nuestro problema. Por tanto, el primer grifo tarda 3 horas en llenar el depósito y el segundo 2 horas.

Alguien pensará ¿y para qué sirve el dato según el cual la capacidad del depósito es de 1500 litros? Realmente para nada. Intentaré justificar porqué.

Pensemos ahora en minutos. El enunciado dice que en 72 minutos (1 hora y 12 minutos) los dos grifos manando juntos llenan el depósito entero (1500 litros). Por tanto, para saber la cantidad \(x\) en litros de depósito que ambos grifos manando juntos llenan en 60 minutos (1 hora), bastará establecer una regla de tres directa (una proporción o igualdad de dos razones):

\[\frac{72}{60}=\frac{1500}{x}\Rightarrow x=\frac{60\cdot1500}{72}=\frac{90000}{72}=1250\]

Es decir, en una hora, los dos grifos manando juntos llenan 1250 de los 1500 litros que le caben al depósito. Pero, ¿qué significa esto? ¿Qué parte, o qué fracción del total se ha llenado? Esto también es fácil de expresar matemáticamente: \(\dfrac{1250}{1500}=\dfrac{5}{6}\). Justamente lo que se obtuvo en la resolución del problema.

Pero es que, si la capacidad del depósito hubiese sido otra, digamos igual a \(C\) litros, y en 72 minutos se hubiesen llenado esos \(C\) litros, entonces en 60 minutos habríamos llenado \(x\) litros. Otra vez, una proporción o el planteamiento de una regla de tres directa nos lleva a

\[\frac{72}{60}=\frac{C}{x}\Rightarrow x=\frac{60C}{72}=\frac{5}{6}C\]

Lo que viene a decir otra vez, en lenguaje normal y corriente, que en una hora hemos llenado las cinco sextas partes del depósito.

Por tanto, la cantidad que le cabe al depósito es, en este caso, irrelevante. Lo importante es que, le quepa lo que le quepa a éste, se llena en una hora y doce minutos si los grifos manan juntos.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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