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El número \(\pi\).

El algoritmo de Arquímedes para el cálculo del número pi

Este artículo tiene su origen en un mensaje que por Twitter me manda @JavierGacimart1, en el que me pide si le puedo decir algo sobre la relación entre \(\pi\) y \(\sqrt{2}\).

Si mi memoria no me fallaba, esto tenía que ver con el algoritmo de Arquímedes para aproximar el número pi. Así pues, me lanzo a bucear por Internet y encuentro esta página, en la que describe un método iterativo basado en el algoritmo de Arquímedes para aproximar \(\pi\). Me gustó bastante el tratamiento dado y ahora yo, más o menos, lo transcribo aquí.

Es conocido que \(\pi\) es la razón entre la longitud \(l\) de la circunferencia y su diámetro, es decir \(\pi=\dfrac{l}{2r}\), donde \(r\) es el radio de la circunferencia. También sabemos que \(\pi\) es un número irracional, es decir, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

El método que usó Arquímedes para aproximar el número pi consistió en circunscribir e inscribir polígonos regulares de \(n\) lados en una circunferencia, y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados cada uno. De este modo calculó que el valor de \(\pi\) debía encontrarse entre \(3+\frac{10}{71}\) y \(3+\frac{1}{7}\). Este último valor, igual a \(\frac{22}{7}\) es la famosa aproximación de Arquímedes del número \(\pi\) (aproximadamente 3,1429).

Aquí no usaremos hexágonos. Empezaremos con un cuadrado inscrito e iremos duplicando el número de lados. Vamos a considerar una circunferencia de radio \(r\) igual a \(1\), y el cuadrado inscrito en la misma.

Es fácil conocer la longitud del lado \(x=AB\) del cuadrado:

\[x^2=1^2+1^2\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}\]

El radio \(OC\) corta al segmento \(AB\) en el punto \(P\), que lo dividie en dos partes iguales. Ahora podemos calcular la longitud del segmento \(AC\) (en color azul en la figura), que es el lado del polígono de ocho lados inscrito en la circunferencia.

Es evidente que \(\displaystyle AP=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{2}\). Claramente, además \(PC=OC-OP=1-OP\).

Pero es que tenemos también que

\[OA^2=AP^2+OP^2\Rightarrow OP^2=OA^2-AP^2\Rightarrow OP^2=1^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=1-\frac{x^2}{4}\]

Por tanto

\[OP=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\]

Entonces

\[PC^2=\left(1-OP\right)^2=1-2OP+OP^2=1-2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}+1-\frac{x^2}{4}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow PC^2=2-\frac{x^2}{4}-1\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\]

Finalmente

\[AC^2=AP^2+PC^2=\frac{x^2}{4}+2-\frac{x^2}{4}-2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=2-2\sqrt{1- \frac{x^2}{4}}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow AC=\sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\]

Así, de manera sucesiva, se podrá ir duplicando el número de lados del polígono inscrito en la circunferencia. En tiempos de Arquímedes ya se conocía la mencionada relación entre la longitud \(l\) de la circunferencia y el radio \(r\) de la misma: \(l=2\pi r\). Si tenemos un polígono de \(n\) lados inscrito en la circunferencia, una buena aproximación de \(l\) será igual a \(n\) por la medida del lado de este polígono, a la cual seguiremos llamando \(x\). Es decir (recordemos que se tomó igual a \(1\) la medida del radio de nuestra circunferencia):

\[2\pi=nx\Rightarrow \pi=\frac{nx}{2}\]

Para entenderlo bien, digamos que

\[x_{n+1}= \sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{x_{n}^2}{4}}}\]

donde \(x_1=\sqrt{2}\).

Usando una hoja de cálculo es fácil aproximar el número pi. Lo he hecho con Excel y queda así:

Obsérvese que usando un polígono inscrito de 128 lados, el error cometido en la aproximación es ya muy pequeño (algo mayor que 3 diezmilésimas).

Si quieres saber más sobre la historia del número pi también puedes leer este artículo: pi antes de pi.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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