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Es posible demostrar que esta ecuación tiene una única solución.

Acceso Universidad Matemáticas II – Continuidad y aplicaciones de las derivadas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en julio de 2019 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para el Acceso a la Universidad (propuesta B).

Enunciado

a) Demuestra que la ecuación \(\text{sen}\,x-2x+1=0\) tiene al menos una solución real en el intervalo \([0,\,\pi]\).

b) Calcula razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación anterior cuando \(x\in[-200,\,200]\).

La solución aquí

La solución aquí

a) Sea la función \(f(x)=\text{sen}\,x-2x+1\), \(f\) continua en todo \(\mathbb{R}\) por ser suma de continuas. En particular, \(f\) será continua en el intervalo \([0,\,\pi]\) .

Además, \(f(0)=0-0+1=1>0\), \(f(\pi)=\text{sen}\,\pi-2\pi+1=-2\pi+1<0\).

Por el teorema de Bolzano, \(\exists\,c\in(0,\,\pi)\) tal que \(f(c)=0\), es decir, tal que \(\text{sen}\,c-2c+1=0\). Hemos demostrado pues que \(c\) es una solución de la ecuación \(\text{sen}\,x-2x+1=0\).

b) La derivada de \(f\) es \(f'(x)=\cos x-2\). Puesto que \(-1\leq\cos x\leq1\), sumando \(-2\) en todos los miembros tenemos que \(-3\leq\cos x-2\leq-1\). Hemos demostrado entonces que \(f'(x)<0\ ,\forall\ x\in\mathbb{R}\), de donde se deduce que \(f\) es estrictamente decreciente en todo \(\mathbb{R}\). Esto quiere decir que la única solución de la ecuación \(\text{sen}\,x-2x+1=0\) es la hallada en el apartado anterior pues, si hubiera otra, la función tendría que crecer para cortar al eje \(X\) en otro punto, y esto, como hemos visto, es imposible.

A continuación tienes representada la gráfica de la función \(f(x)= \text{sen}\,x-2x+1\).

Es posible demostrarlo también aplicando el teorema de Rolle. Si hubiera otra solución más de la ecuación, digamos \(c’\), entonces \(f(c’)=0\), con lo que \(f(c)=f(c’)\). Por el teorema de Rolle, existiría \(d\in(c,\,c’)\) tal que \(f'(d)=0\). Pero esto es imposible, ya que hemos visto que \(f'(x)<0\ ,\forall\ x\in\mathbb{R}\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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