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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (7)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2013 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta B).

Enunciado

a) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

b) Halla el punto de la gráfica de la función \(f(x)=x^3+3x^2+1\) donde la recta tangente tiene pendiente mínima.

La solución aquí

La solución aquí

a) La derivada de una función en un punto \(x=a\), \(f'(a)\), es la pendiente de la recta tangente en dicho punto. De hecho, la ecuación de la recta tangente en tal punto es la siguiente:

\[y-f(a)=f'(a)(x-a)\]

En este artículo puedes leer más sobre la derivada y la recta tangente a una curva.

b) La derivada de la función \(f\) es \(f'(x)=3x^2+6x\). Por tanto, la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera \(x=a\) será \(f'(a)=3a^2+6a\). Teniendo en cuenta que \(f(a)=a^3+3a^2+1\), podemos, por tanto, escribir la ecuación de cualquier recta tangente en cualquier punto \(x=a\). Quedaría del siguiente modo:

\[y-(a^3+3a^2+1)=(3a^2+6a)(x-a)\]

La aplicación desmos nos permite representar gráficamente esta situación:

El enunciado de este apartado no pide hacer todo esto, pero desde aquí queremos expresar que lo que tenemos que minimizar es la función derivada, ya que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente, y esto es lo que tenemos que hacer mínimo. Desde el punto de vista gráfico buscamos la recta que “menos se inclina”.

Digamos pues que la función “pendiente de la recta tangente” es \(g(x)= 3x^2+6x\). Su derivada es \(g'(x)=6x+6\). Igualando ésta a cero se tiene:

\[g'(x)=0\Leftrightarrow6x+x=0\Leftrightarrow x=-1\]

La segunda derivada de \(g\) es \(g”(x)=6\), valor que siempre es mayor que cero para todo \(x\). Esto indica que \(x=-1\) es un mínimo.

Es decir, el punto de la gráfica de la función \(f(x)=x^3+3x^2+1\) donde la recta tangente tiene pendiente mínima, es \(x=-1\). De hecho, tal recta tangente es:

\[y-3=-3(x+1)\]

Obsérvese que la recta tangente con pendiente mínima se da justamente en el punto de inflexión de la función. Es natural.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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