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Una matriz cuadrada de orden 4.

Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en 2012 (reserva 2) por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

Dada la matriz

\[A = \left( {\begin{array}{cccc}a&0&0&-b\\0&a&b&0\\0&-b&a&0\\b&0&0&a\end{array}} \right)\ ;\ a,b\in\mathbb{R}\ ,\ a\neq0\,,\,b\neq0 \]

a) Calcula \(A\cdot A^T\), donde \(A^T\) es la matriz traspuesta de \(A\).

b) Razona que siempre existe la matriz inversa de \(A\), independientemente de los valores de \(\ a,b\in\mathbb{R}\ ,\ a\neq0\,,\,b\neq0\).

La solución aquí

La solución aquí

a) \(A\cdot A^T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0&-b\\0&a&b&0\\0&-b&a&0\\b&0&0&a\end{array}}\right)\cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0&b\\0&a&-b&0\\0&b&a&0\\-b&0&0&a\end{array}}\right)=\)

\[=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a^2+b^2&0&0&0\\0&a^2+b^2&0&\\0&0&a^2+b^2&0\\0&0&0&a^2+b^2\end{array}}\right)\].

b) Dadas dos matrices cuadradas \(A\) y \(B\), el determinante del producto de ambas es igual al producto de los determinantes, es decir, \(|AB|=|A||B|\). Pero es que, además, el determinante de una matriz es igual que el determinante de su traspuesta, es decir, \(|A|=|A^T|\). Por último, el determinante de una matriz triangular (en particular de una matriz diagonal), es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Por las propiedades mencionadas anteriormente y por el apartado a) podemos deducir lo siguiente:

\[|AA^T|=\left(a^2+b^2\right)^4\Rightarrow|A||A^T|=\left(a^2+b^2\right)^4\Rightarrow\]

\[\Rightarrow|A||A|=\left(a^2+b^2\right)^4\Rightarrow|A|=\left(a^2+b^2\right)^2\neq0\]

\((a^2+b^2)^2\) no es cero porque, por hipótesis, tanto \(a\) como \(b\) son números reales distintos de cero. Hemos demostrado por tanto que el determinante de la matriz \(A\) es distinto de cero. Por tanto, la matriz \(A\) tiene inversa.

También podríamos haber demostrado que el determinante de la matriz \(A\) es distinto de cero directamente. Vamos a hacerlo. Para ello vamos a desarrollar el determinante de orden cuatro por los elementos de la primera columna:

\[|A|=\left|{\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0&-b\\0&a&b&0\\0&-b&a&0\\b&0&0&a\end{array}}\right|=a\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}a&b&0\\-b&a&0\\0&0&a\end{array}}\right|+(-b)\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}0&0&-b\\a&b&0\\-b&a&0\end{array}}\right|=(\ast)\]

Ahora vamos a desarrollar los dos determinantes de orden tres por los elementos de la tercera columna:

\[(\ast)=a\cdot a\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\-b&a\end{array}}\right|+(-b)\cdot(-b)\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\-b&a\end{array}}\right|=\]

\[=a^2(a^2+b^2)+b^2(a^2+b^2)=(a^2+b^2)(a^2+b^2)=\left(a^2+b^2\right)^2\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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