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Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (4)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta B).

Enunciado

Calcula las integrales

\[\int\frac{e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx\quad;\quad\int\frac{2}{4+x^2}\,dx\]

La solución aquí

La solución aquí

Para hacer la primera integral vamos a efectuar un cambio de variable:

\[t=e^x\Rightarrow dt=e^x\,dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{t}\]

De este modo

\[\int\frac{e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx=\int\frac{t}{t-\frac{1}{t}}\frac{dt}{t}=\int\frac{1}{t-\frac{1}{t}}\,dt=\int\frac{t}{t^2-1}\,dt\]

Esta última integral es inmediata. Se aprecia con claridad que va a ser de tipo logarítmico pues en el numerador está “casi” la derivada del denominador.

\[\int\frac{t}{t^2-1}\,dt=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2-1}\,dt=\frac{1}{2}\ln(t^2-1)+C\]

Deshaciendo el cambio tenemos:

\[\int\frac{e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx=\frac{1}{2}\ln(e^{2x}-1)+C\]

La segunda integral es claramente de tipo arcotangente. Recordemos que 

\[\int\frac{f'(x)}{1+f(x)^2}\,dx=\text{arctg}\,f(x)+C\]

Entonces, retocando un poco tenemos:

\[\int\frac{2}{4+x^2}\,dx=\int\frac{\frac{2}{4}}{1+\frac{x^2}{4}}\,dx=\int\frac{\frac{1}{2}}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}\,dx=\text{arctg}\frac{x}{2}+C\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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