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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (6)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2015 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta B).

Enunciado

Determina cómo dividir un segmento de 90 cm en dos trozos, de forma que la suma del área del semicírculo cuyo diámetro es uno de ellos y el área de un triángulo rectángulo que tiene como base el otro trozo y cuya altura es \(\pi\) veces su base, sea mínima. [2.5 puntos]

Nota: Recuerda que el área de un círculo de radio \(r\) es \(\pi r^2\).

La solución aquí

La solución aquí

Vamos a realizar un dibujo que nos permita visualizar con claridad lo que se expone en el enunciado del problema.

Como puedes observar, hemos llamado \(x\) a la base del semicírculo e \(y\) a la base del triángulo rectángulo, de tal manera que el segmento de 90 cm queda dividido en estos dos trozos:

\[x+y=90\Rightarrow y=90-x\]

Teniendo en cuenta que el radio del semicírculo es \(x/2\), el área del mismo es

\[\frac{1}{2}\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{1}{8}\pi x^2\]

El área del triángulo rectángulo es

\[\frac{1}{2}\pi y^2=\frac{1}{2}\pi(90-x)^2\]

Por tanto, podemos expresar la suma de ambas áreas como una función que depende de \(x\):

\[f(x)=\frac{1}{8}\pi x^2+\frac{1}{2}\pi(90-x)^2\]

Vamos a derivar y a igualar la derivada a cero para así obtener los “candidatos” a extremos relativos.

\[f'(x)=\frac{1}{8}\pi 2x+\frac{1}{2}\pi2(90-x)(-1)=\]

\[=\frac{1}{4}\pi x-\pi(90-x)=\frac{\pi x-4\pi(90-x)}{4}=\frac{\pi(5x-360)}{4}\]

Entonces:

\[f'(x)=0\Leftrightarrow\frac{\pi(5x-360)}{4}\Leftrightarrow5x-360=0\Leftrightarrow x=72\]

Vamos a comprobar que, efectivamente, \(x=72\) es un mínimo. Para ello utilizaremos el criterio de la segunda derivada.

\[f ” (x)=\frac{5\pi}{4}>0\,,\,\forall\,x\in\mathbb{R}\]

Puesto que la segunda derivada es siempre mayor que cero, lo será en particular para \(x=72\), lo que indica que \(x=72\) es un mínimo.

Así pues, la división del segmento para que la suma de las áreas del semicírculo y del triángulo sea mínima, se ha de realizar en dos trozos, uno de \(72\) cm y otro de \(90-72=18\) cm.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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