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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (5)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en julio de 2018 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para Acceso a la Universidad (propuesta A).

Enunciado

Después de la administración por vía oral de un fármaco, la concentración de este en sangre sigue el modelo: \(C(t)=at^2e^{-bt}\), donde \(t\in[0,+\infty)\) es el tiempo en horas transcurridos desde la administración y \(a,\,b\in\mathbb{R}^+\).

a) Determina los valores de \(a\) y \(b\) para que el modelo de la concentración tenga un extremo relativo en el punto \((2,8e^{-2})\). [1,5 puntos]

b) Según el modelo anterior, ¿a qué valor tiende la concentración de este fármaco a largo plazo? Interpreta el resultado. [1 punto]

Nota: A largo plazo se entiende como que \(t\rightarrow+\infty\).

La solución aquí

La solución aquí

a) Decir que el modelo de la concetración tiene un extremo relativo en el punto \((2,8e^{-2})\) encierra dos condiciones:

La primera, que la imagen de \(2\) por \(C\) es \(8e^{-2}\), es decir: \(C(2)=8e^{-2}\). O sea:

\[4ae^{-2b}=8e^{-2}\qquad(1)\]

La segunda, que la derivada de \(C\) en \(2\) es igual a cero: \(C'(2)=0\). Y como la derivada de \(C\) es

\[C'(t)=2ate^{-bt}-abt^2e^{-bt}=ate^{-bt}(2-bt)\]

la condición anterior se traduce en

\[2ae^{-2b}(2-2b)=0\Rightarrow4ae^{-2b}(1-b)=0\qquad(2)\]

Resolviendo el sistema formado por las condiciones \((1)\) y \((2)\), podemos hallar \(a\) y \(b\).

Pero de la condición \((2)\), rápidamente se obtiene que \(b=1\) o que \(a=0\), aunque esta última opción no es viable porque \(a,\,b\in\mathbb{R}^+\). Sustituyendo el valor \(b=1\) en la condición \((1)\) tenemos que \(4ae^{-2}=8e^{-2}\), de donde rápidamente se deduce que \(a=2\).

b) Para \(a=2\) y \(b=1\) el modelo se convierte en  \(C(t)=2t^2e^{-t}\). Entonces:

\[\lim_{t\to+\infty}C(t)=\lim_{t\to+\infty}2t^2e^{-t}=\lim_{t\to+\infty}\frac{2t^2}{e^t}\]

El último límite arroja una indeterminación del tipo \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). La resolveremos aplicando la regla de L’Hôpital un par de veces.

\[\lim_{t\to+\infty}\frac{2t^2}{e^t}=\lim_{t\to+\infty}\frac{4t}{e^t}=\lim_{t\to+\infty}\frac{4}{e^t}=\frac{4}{+\infty}=0\]

Lo que indica este resultado es que la concentración en sangre del fármaco tiende a desaparecer con el paso del tiempo.

De hecho, la curva asociada a este modelo es la siguiente:

En la misma podemos observar que transcurridas 2 horas la concentración es máxima e igual a \(8e^{-2}=1,083\). Conforme pasa el tiempo la concentración en sangre va disminuyendo. En la figura se puede observar que, pasadas 9 horas la concentración ya es solo de \(0,02\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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