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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (4)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2015 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

Dada la función \(f(x)=e^{\text{sen}\,x}+x^2+ax+b\,\); \(\ a,\,b\in\mathbb{R}\):

a) Determina los parámetros \(a,\,b\in\mathbb{R}\) sabiendo que la gráfica de \(f(x)\) pasa por el punto \((0,2)\) y que en dicho punto tiene un extremo relativo. [1,5 puntos]

b) Para los valores de los parámetros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un máximo o un mínimo. [1 punto]

La solución aquí

La solución aquí

a) Como la gráfica de \(f(x)\) pasa por el punto \((0,2)\) tenemos que:

\[f(0)=2\Leftrightarrow e^{\text{sen}\,0}+0^2+a\cdot0+b=2\Leftrightarrow e^0+b=2\Leftrightarrow1+b=2\Leftrightarrow b=1\]

Al ser \(x=0\) un extremo relativo, \(f'(0)=0\). Pero \(f'(x)=e^{\text{sen}\,x}\cos x+2x+a\).

Entonces:

\[f'(0)=0\Leftrightarrow e^{\text{sen}\,0}\cos 0+2\cdot0+a=0\Leftrightarrow e^0+a=0\Leftrightarrow 1+a=0\Leftrightarrow a=-1\]

b) Para los valores de \(a\) y \(b\) encontrados en el apartado anterior la función es \(f(x)=e^{\text{sen}\,x}+x^2-x+1\), cuya derivada es \(f'(x)=e^{\text{sen}\,x}\cos x+2x-1\), de donde la segunda derivada es

\[f\,” (x)=e^{\text{sen}\,x}\cos^2x+e^{\text{sen}\,x}(-\text{sen}\,x)+2=e^{\text{sen}\,x}(\cos^2x-\text{sen}\,x)+2\]

Entonces:

\[f \,” (0)=e^{\text{sen}\,0}(\cos^0-\text{sen}\,0)+2=e^0(1-0)+2=1+2=3>0\]

Por el criterio de la derivada segunda, tenemos que \(x=0\) es un mínimo relativo de la función \(f\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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