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Acceso Universidad Matemáticas II – Continuidad y cálculo de límites (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2013 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

a) Calcula el valor \(a\in\mathbb{R}\), \(a>0\), para que la función

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{ax}& \text{si}& x<0\\ \displaystyle\left(\frac{2x+7}{2x+1}\right)^x & \text{si} & x\geq0 \end{array}\right.\]

sea continua en \(x=0\).

b) Calcula el límite \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

La solución aquí

La solución aquí

a) Calculemos los límites laterales en \(x=0\).

En primer lugar haremos el límite por la izquierda de \(0\).

\[\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{ax}=\left[\frac{0}{0}\ \text{ INDETERMINACIÓN}\right]=\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}}{a}=\frac{2}{a}\]

Puesto que se trataba de una indeterminación del tipo \(\dfrac{0}{0}\), hemos aplicado la regla de L’Hôpital.

Calculemos ahora el límite por la derecha de \(0\).

\[\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0}\left(\frac{2x+7}{2x+1}\right)^x=[1^{\infty}\ \text{ INDETERMINACIÓN}]\]

Llamemos \(f(x)=\dfrac{2x+7}{2x+1}\) y \(g(x)=x\). Entonces sabemos que

\[\lim_{x\to0}g(x)(f(x)-1)=L\Rightarrow\lim_{x\to0}f(x)^{g(x)}=e^L\]

De este modo:

\[\lim_{x\to0}g(x)(f(x)-1)=\lim_{x\to0}x\left(\frac{2x+7}{2x+1}-1\right)=\lim_{x\to0}\frac{6x}{2x+1}=0\]

Entonces:

\[\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0}\left(\frac{2x+7}{2x+1}\right)^x=e^0=1\]

Para que \(f\) sea continua en \(x=0\) se debe cumplir que \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)\). En este caso se debe de dar que \(\dfrac{2}{a}=1\Rightarrow a=2\).

b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2x+7}{2x+1}\right)^x=[1^{\infty}\ \text{INDETERMINACIÓN}]\). Para resolver la indeterminación volvemos a aplicar la misma técnica vista en el apartado anterior.

\[\lim_{x\to+\infty}g(x)(f(x)-1)=\lim_{x\to+\infty}x\left(\frac{2x+7}{2x+1}-1\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{6x}{2x+1}=\frac{6}{2}=3\]

Por tanto:

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+7}{2x+1}\right)^x=e^3\]

La aplicación desmos nos permite ver la gráfica de la función y apreciar que, efectivamente, para \(a=2\) es continua en \(x=0\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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