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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en 2009 (reserva 1) por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios (Primer Bloque, Ejercicio A).

Enunciado

Según el artículo “The design of honeycombs” de A. L. Peressini, el área de la superficie de una celda de un panal de abejas está determinada por la función

\[A(\theta)=p+q\frac{\sqrt{3}-\cos\theta}{\text{sen}\,\theta}\]

donde \(p\) y \(q\) son dos constantes reales positivas, y \(\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) un cierto ángulo. Calcula con qué ángulo \(\theta\) construyen las abejas las celdas de un panal sabiendo que minimizan dicha área.

La solución aquí

La solución aquí

El ángulo que se pide debe ser un mínimo de la función área dada. Por tanto, para ese ángulo la derivada de la función debe ser igual a cero. Derivemos pues la función área e igualémosla a cero para obtener el ángulo “candidato” a la solución del problema.

\[A'(\theta)=q\frac{-(-\text{sen}\,\theta)\cdot\text{sen}\theta-(\sqrt{3}-\cos\theta)\cdot\cos\theta}{\text{sen}^2\theta}=\]

\[=q\frac{\text{sen}^2\theta+\cos^2\theta-\sqrt{3}\cos\theta}{\text{sen}^2\theta}=q\frac{1-\sqrt{3}\cos\theta}{\text{sen}^2\theta}\]

Entonces:

\[A'(\theta)=0\Leftrightarrow 1-\sqrt{3}\cos\theta=0\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Por tanto:

\[\theta=\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\approx 0,955\]

El resultado anterior está dado en radianes. \(0,955\ \text{rad.}\) se corresponden, aproximadamente, con \(54,7^{\circ}\).

Ahora hemos de ver que este valor de \(\theta\) es, efectivamente, un mínimo. Para ello volvemos a derivar y comprobamos que la segunda derivada en \(\theta\) es mayor que cero.

\[A”(\theta)=q\frac{\sqrt{3}\text{sen}\,\theta\cdot\text{sen}^2\theta-(1-\sqrt{3}\cos\theta)\cdot2\text{sen}\,\theta\cos\theta}{\left(\text{sen}^2\theta\right)^2}\]

Si extraemos factor común \(\text{sen}\,\theta\) del numerador, podemos eliminarlo con un \(\text{sen}\,\theta\) del denominador, con lo que la segunda derivada quedaría así:

\[A”(\theta)=q\frac{\sqrt{3}\text{sen}^2\theta-2\cos\theta(1-\sqrt{3}\cos\theta)}{\text{sen}^3\theta}\]

Sustituyendo en esta expresión el valor de \(\theta\) por \(0,955\) tenemos:

\[A”(0,955)=q\frac{\sqrt{3}\text{sen}^2 0,955-2\cos 0,955(1-\sqrt{3}\cos 0,955)}{\text{sen}^3 0,955}\approx2,12q\]

Entonces, como \(q>0\), tenemos que \(A”(0,955)\approx2,12q>0\), lo que demuetra que \(\theta=0,955\) es un mínimo de la función \(A(\theta)\). Dicho de otro modo, el ángulo con el que las abejas construyen las celdas de un panal sabiendo que minimizan el área de la superficie de cada una de ellas, es de \(54,7^{\circ}\).

 

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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