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Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2018 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para Acceso a la Universidad (propuesta B).

Enunciado

Dadas las funciones \(f(x)=2xe^{-x}\) y \(g(x)=x^2e^{-x}\), calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de esas funciones.

La solución aquí

La solución aquí

En primer lugar resolvamos la ecuación \(f(x)=g(x)\) para ver en qué puntos se cortan ambas funciones.

\[2xe^{-x}=x^2e^{-x}\Leftrightarrow2xe^{-x}-x^2e^{-x}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow xe^{-x}(2-x)=0\Leftrightarrow\begin{cases}
x=0\\
2-x=0\Rightarrow x=2
\end{cases}\]

Además, en el intervalo \((0,2)\) se tiene claramente que \(xe^{-x}(2-x)>0\), o lo que es lo mismo, \(f(x)-g(x)>0\) en el intervalo \((0,2)\). Esto indica que, en el intervalo \((0,2)\), la función \(f\) está por encima de la función \(g\).

El área \(A\) del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones vendrá dado por la siguiente integral definida (puedes consultar el siguiente artículo sobre cálculo de áreas de figuras planas):

\[A=\int_0^2(f(x)-g(x))dx=\int_0^2xe^{-x}(2-x)dx=\int_0^2(2x-x^2)e^{-x}dx\]

Hagamos en primer lugar la integral indefinida usando el método de integración por partes.

\[\int(2x-x^2)e^{-x}dx=\left[\begin{array}{cc}
u=2x-x^2 & du=(2-2x)dx \\
dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x}
\end{array}\right]=\]

\[=(2x-x^2)(-e^{-x})-\int(2-2x)(-e^{-x})dx=\]

\[=(x^2-2x)e^{-x}+\int(2-2x)e^{-x}dx=\left[\begin{array}{cc}
u=2-2x & du=-2dx \\
dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x}
\end{array}\right]=\]

\[=(x^2-2x)e^{-x}+(2-2x)(-e^{-x})-\int2e^{-x}dx=\]

\[=(x^2-2x)e^{-x}+(2x-2)e^{-x}+2e^{-x}+C=x^2e^{-x}+C\]

De este modo:

\[A=\int_0^2(2x-x^2)e^{-x}=\left.x^2e^{-x}\right]_0^2=4e^{-2}\approx0.54\ \text{uds}^2\]

La representación gráfica del recinto cuya área se pide es la siguiente:

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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