Home » Selectividad Matemáticas II » Geometría » Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (2)

Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

Dadas las rectas

\[r\equiv\begin{cases}
x-y=1\\
y+z=1
\end{cases}\quad\text{y}\quad s\equiv\begin{cases}
x=t\\
y=1-t\\
z=t
\end{cases}\]

se pide

a) Determina su posición relativa.

b) Halla el ángulo que forman sus vectores de dirección.

La solución aquí

La solución aquí

a) En la ecuación de la recta \(r\) haciendo por ejemplo, \(y=0\), obtenemos \(x=1\), \(y=1\). Por tanto, un punto de \(r\) es \(A(1,0,1)\). Hallemos un vector director de \(r\):

\[\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right|=-i+k-j\]

Por tanto un vector director de \(r\) es \(\vec{u}=(-1,-1,1)\).

Un punto y un vector director de \(s\) son, respectivamente, \(B(0,1,0)\) y \(\vec{v}=(1,-1,1)\).

La matriz formada por los vectores directores de \(r\) y \(s\) es

\[\left(\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right)\]

El rango de esta matriz es \(2\), pues contiene un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
1 & -1
\end{array}\right|=1-(-1)=2\neq0\]

De aquí se deduce que los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) tienen distinta dirección, con lo que las rectas o bien se cortan (secantes), o bien se cruzan. Para saber cual de las dos alternativas es la correcta estudiaremos el rango de la matriz formada por los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)\), que es la siguiente:

\[\left(\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -1
\end{array}\right)\]

El determinante de la matriz anterior es:

\[\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -1
\end{array}\right|=(-1+1+1)-(1+1-1)=0\]

Por tanto, el rango de la matriz anterior no puede ser \(3\). Entonces el rango será igual a \(2\), lo que indica que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\overrightarrow{AB}\) se encuentran en un mismo plano, con lo que las rectas \(r\) y \(s\) son secantes (se cortan en un punto).

Aunque no se pide explícitamente en el enunciado, vamos a hallar el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\).

Se puede deducir con facilidad que la ecuación general de la recta \(s\) es

\[s\equiv\begin{cases}
x+y=1\\
x-z=0
\end{cases}\]

El punto de corte de \(r\) y \(s\) será la solución del sistema formado por las ecuaciones de \(r\) y \(s\):

\[\begin{cases}
x-y=1\\
y+z=1\\
x+y=1\\
x-z=0
\end{cases}\]

Según se ha deducido anteriormente, este sistema debe ser compatible y determinado (solución única). Si llamamos \(A\) a la matriz de los coeficientes, \(A1b\) a la matriz ampliada y \(n\) al número de incógnitas, por el teorema de Rouché se debe de cumplir que

\[\text{rango}\,A=\text{rango}\,A|b=n=3\]

Comprobémoslo. La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
1&-1&0\\
0&1&1\\
1&1&0\\
1&0&-1
\end{array}\right)\quad;\quad A|b=\left(\begin{array}{cccc}
1&-1&0&1\\
0&1&1&1\\
1&1&0&1\\
1&0&-1&0
\end{array}\right)\]

El rango de \(A\) es \(3\) pues contiene un menor de orden \(3\) distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&0\\
0&1&1\\
1&1&0
\end{array}\right|=-1-1=-2\neq0\]

El rango de la matriz ampliada también es tres porque el único menor de orden cuatro es igual a cero:

\[\left|\begin{array}{cccc}
1&-1&0&1\\
0&1&1&1\\
1&1&0&1\\
1&0&-1&0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
1&-1&0&1\\
0&1&1&1\\
0&2&0&0\\
0&1&-1&-1
\end{array}\right|=\]

\[=\left|\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
2&0&0\\
1&-1&-1
\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}
1&1\\
-1&-1
\end{array}\right|=2\cdot0=0\]

Para calcular el determinante hemos hecho ceros en la primera columna restando a la tercera y cuarta filas la primera. Luego se ha desarrollado el determinante de orden \(4\) por los elementos de la primera columna, y el determinante de orden \(3\) por los elementos de la segunda fila.

Ahora podemos hallar la solución eliminando la última fila del sistema y aplicando la regla de Cramer:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&0\\
1&1&1\\
1&1&0
\end{array}\right|}{-2}=\frac{-1-1}{-2}=1\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
1&1&0\\
0&1&1\\
1&1&0
\end{array}\right|}{-2}=\frac{1-1}{-2}=0\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&1\\
0&1&1\\
1&1&1
\end{array}\right|}{-2}=\frac{(1-1)-(1+1)}{-2}=1\]

Por tanto, el punto de corte de las dos rectas es el punto \((1,0,1)\).

b) Llamemos \(\alpha\) al ángulo formado por las rectas \(r\) y \(s\). Puesto que

\[\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\]

donde \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son los vectores directores de \(r\) y \(s\), tenemos:

\[\cos\alpha=\frac{(-1,-1,1)\cdot(1,-1,1)}{|(-1,-1,1)|\cdot|(1,-1,1)|}=\frac{-1+1+1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\]

Por tanto:

\[\alpha=\arccos\frac{1}{3}=70,53^{\circ}\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de ...

A %d blogueros les gusta esto: