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Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

Calcula la integral

\[\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx\]

La solución aquí

La solución aquí

Antes de comenzar se recomienda repasar la teoría sobre integral indefinida y métodos de integración.

En este caso se trata de una integral racional. Factorizaremos el denominador y descompondremos la fracción en fracciones simples.

Como \(x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)^2\) tenemos:

\[\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}=\]

\[=\frac{A(x-2)^2+B(x-1)(x-2)+C(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}\]

Demos ahora valores para \(x\) en el numerador:

  • Si \(x=2\), entonces \(-1=C\).
  • Si \(x=1\), entonces \(-1=A\).
  • Si \(x=0\), entonces \(1=4A+2B-C\Rightarrow1=-4+2B+1\Rightarrow B=2\).

Por tanto:

\[\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{-1}{(x-2)^2}\]

De este modo:

\[\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx=\int\frac{-1}{x-1}dx+\int\frac{2}{x-2}dx+\int\frac{-1}{(x-2)^2}dx=\]

\[=-\ln(x-1)+2\ln(x-2)+\frac{1}{x-2}+C\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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