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Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

a) Determina el valor del parámetro \(a\in\mathbb{R}\) para que la función \(f(x)=(x-a)e^x\) tenga un mínimo relativo en \(x=0\). Razona que, de hecho, es un mínimo absoluto.

b) Para el valor de \(a\) obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función \(f(x)\).

La solución aquí

La solución aquí

a) Al presentar la función en el punto \(x=0\) un mínimo relativo, necesariamente \(f'(0)=0\). Además, se ha de cumplir también que la segunda derivada en tal punto sea mayor que cero.

Como

\[f'(x)=e^x+(x-a)e^x=(1+x-a)e^x\]

se tiene que \(f'(0)=1-a=0\Rightarrow a=1\). Para este valor de \(a\) la función y su primera derivada son

\[f(x)=(x-1)e^x\quad;\quad f'(x)=xe^x\]

La segunda derivada es

\[\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\]

Y puesto que

\[\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=1>0\]

entonces en \(x=0\) hay un mínimo relativo.

Observemos también que, al ser \(e^x>0\,, \forall\, x\in\mathbb{R}\) se tiene que

\[f'(x)=xe^x<0 \Leftrightarrow x<0\]

y que

\[f'(x)=xe^x>0 \Leftrightarrow x>0\]

Por tanto, \(f\) es estrictamente decreciente en \((-\infty,0)\) y estrictamente creciente en \((0,+\infty)\).

Además, la función \(f(x)=(x-1)e^x\) está definida y es continua en todo \(\mathbb{R}\), \(f(0)=-1\) y los límites en \(-\infty\) y en \(+\infty\) son los siguientes:

\[\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^x=[-\infty\cdot0\quad \text{INDET}]=\lim_{x\to-\infty}\frac{x-1}{e^{-x}}=\left[\frac{-\infty}{\infty}\quad\text{INDET}\right]=\]

\[=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}}=\frac{1}{-\infty}=0\]

En el último paso se ha usado la regla de L’Hôpital.

\[\lim_{x\to+\infty}(x-1)e^x=+\infty\]

De lo anterior se deduce que \(\text{Im}f=[-1,+\infty)\), con lo que \(x=0\) es un mínimo absoluto.

b) Si una función presenta un punto de inflexión, necesariamente la segunda derivada en este punto ha de ser igual a cero. Una condición para asegurarnos de que tal punto es de inflexión es que la tercera derivada en dicho punto sea distinta de cero. Teniendo en cuenta lo anterior, tenemos:

\[\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x=0\Leftrightarrow x=-1\]

De lo anterior deducimos que el único “candidato” a punto de inflexión es el punto \(x=-1\). Hagamos la derivada tercera y evaluemos.

\[\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(-1)=e^{-1}\neq0\]

Como la tercera derivada es distinta de cero, deducimos que \(x=-1\) es el único punto de inflexión de la función. Puesto que \(f(-1)=-2e^{-1}\approx-0,74\), las coordenadas del punto de inflexión son \((-1,-0,74)\).

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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