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Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

a) Sabiendo que \(A\) es una matriz cuadrada de orden 2 tal que \(|A|=5\), calcula razonadamente el valor de los determinantes

\[|-A|\quad;\quad|A^{-1}|\quad;\quad|A^T|\quad;\quad|A^3|\]

b) Sabiendo que

\[\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1
\end{array}
\right|=2\]

calcula, usando las propiedades de los determinantes,

\[\left|\begin{array}{ccc}
3-a & -b & 1-c \\
1+a & 1+b & 1+c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|\quad\text{y}\quad\left|\begin{array}{cccc}
5 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 2a & 2b & 2c \\
0 & 30 & 0 & 10 \\
1 & 4 & 4 & 4
\end{array}
\right|\]

La solución aquí

La solución aquí

Antes de resolver el ejercicio se recomienda leer los artículos “Determinantes” y “Determinantes. Propiedades y ejercicios“.

a) \(|-A|=|-1\cdot A|=|-1|\cdot|A|=1\cdot5=5\).

Como \(A\cdot A^{-1}=I\) donde \(I\) es la matriz identidad, se tiene que \(|A\cdot A^{-1}|=|I|=1\). Ahora, puesto que el determinante del producto es el producto de los determinantes: \(|A|\cdot|A^{-1}|=1\) y de aquí \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{5}\).

El determinante de una matriz cuadrada es igual que el determinante de su traspuesta: \(|A|=|A^T|=5\).

\(|A^3|=|A\cdot A\cdot A|=|A|\cdot|A|\cdot|A|=5\cdot5\cdot5=125\).

b) Primer determinante.

\(\left|\begin{array}{ccc}
3-a & -b & 1-c \\
1+a & 1+b & 1+c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|=\left|\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
1+a & 1+b & 1+c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|+\left|\begin{array}{ccc}
-a & -b & -c \\
1+a & 1+b & 1+c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|=(\ast)\)

Se ha descompuesto el determinante en dos usando los sumandos de la primera fila. El segundo de los determinantes de la suma es cero porque tiene dos filas proporcionales (la primera y la tercera). A continuación vamos a descomponer el primer determinante de la suma en otros dos usando los sumandos de la segunda fila.

\((\ast)=\left|\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|+\left|\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
a & b & c \\
3a & 3b & 3c
\end{array}
\right|=3\cdot\left|\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
a & b & c
\end{array}
\right|=\)

\(=-3\cdot\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1
\end{array}
\right|=-3\cdot2=-6\)

El segundo de los sumandos vuelve a ser nulo por ser la tercera fila proporcional a la segunda. Luego hemos sacado 3 factor común del primer determinante y hemos cambiado el signo por intercambiar las filas primera y tercera.

Segundo determinante.

Desarrollando por los elementos de la primera fila, extrayendo factores de las filas correspondientes e intercambiando las dos últimas filas, tenemos:

\(\left|\begin{array}{cccc}
5 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 2a & 2b & 2c \\
0 & 30 & 0 & 10 \\
1 & 4 & 4 & 4
\end{array}
\right|=5\cdot\left|\begin{array}{ccc}
2a & 2b & 2c \\
30 & 0 & 10 \\
4 & 4 & 4
\end{array}
\right|=5\cdot2\cdot10\cdot4\cdot\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right|=\)

\(=-400\cdot\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1
\end{array}
\right|=-400\cdot2=-800\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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