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Acceso Universidad Matemáticas II – Geometría (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

a) Hallar \(a\in\mathbb{R}\) para que las rectas

\[r\equiv\begin{cases}
x+2y-z=1\\
-x+y-3z=2
\end{cases}\quad\text{y}\quad s\equiv\begin{cases}
x+y=0\\
3x+2y+z=a
\end{cases}\]

se corten en un punto.

b) Para dicho valor de \(a\), da la ecuación implícita de un plano \(\pi\) que contenga a \(r\) y a \(s\).

La solución aquí

La solución aquí

a) Si las rectas se cortan en un punto, el sistema de ecuaciones formado por ambas ha de ser compatible y determinado. Según el teorema de Rouché-Frobenius, para que esto ocurra, el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual al de la ampliada y al número de incógnitas, es decir, igual a \(3\). Por tanto, el determinante de la matriz ampliada debe ser igual a cero (ver el artículo que habla sobre cálculo del rango de una matriz por determinantes).

\[\left|\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -3 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 1 & a
\end{array}
\right|=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -1 & 1 \\
0 & 3 & -4 & 3 \\
0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & -4 & 4 & a-3
\end{array}
\right|=\]

\[=\left|\begin{array}{ccc}
3 & -4 & 3 \\
-1 & 1 & -1 \\
-4 & 4 & a-3
\end{array}
\right|=\left|\begin{array}{ccc}
-1 & -4 & 3 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 4 & a-3
\end{array}
\right|=\]

\[=-1\cdot\left|\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
4 & a-3
\end{array}
\right|=-1\cdot(a-3-(-4))=-a-1\]

En el primer paso se han hecho ceros todos los términos de la primera columna salvo el primero. Para ello se ha sumado a la segunda fila la primera, a la tercera fila se le ha restado la primera y a la cuarta fila se le ha restado la primera previamente multiplicada por tres (estas operaciones no cambian el valor del determinante). A continuación, en el segundo paso, se ha desarrollado el determinante por los elementos de la primera columna. En el tercer paso se ha sumado a la primera columna la segunda. Finalmente se ha vuelto a desarrollar por los elementos de la primera columna.

Por tanto:

\[\left|\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -3 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 1 & a
\end{array}
\right|=0\Leftrightarrow -a-1=0\Leftrightarrow a=-1\]

Podemos hallar también el punto de corte. Si en la ecuación \(x+y=0\) de la recta \(s\) despejamos \(y\) tenemos que \(y=-x\). Sustituyendo en las ecuaciones de la recta \(r\):

\[r\equiv\begin{cases}
y-z=1\\
2y-3z=2
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
2y-2z=2\\
2y-3z=2
\end{cases}\Rightarrow z=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=-1\]

De este modo obtenemos que el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\) es \((-1,1,0)\).

b) Hallemos un vector director \(\vec{u}\) de \(r\).

\[\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
1 & 2 & -1 \\
-1 & 1 & -3
\end{array}
\right|=(-6i+j+k)-(-2k-3j-i)=-5i+4j+3k\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\vec{u}=(-5,4,3)\]

De igual modo, hallemos también un vector director \(\vec{v}\) de \(s\).

\[\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
1 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 1
\end{array}
\right|=(i+2k)-(3k+j)=i-j-k\Rightarrow \vec{v}=(1,-1,-1)\]

Calculemos finalmente la ecuación del plano \(\pi\) que contiene a las rectas \(r\) y \(s\). Esto es sencillo pues disponemos de un punto y dos vectores directores.

\[\left|\begin{array}{ccc}
x+1 & y-1 & z \\
-5 & 4 & 3 \\
1 & -1 & -1
\end{array}
\right|=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(-4(x+1)+3(y-1)+5z)-(4z+5(y-1)-3(x+1))=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-4x-4+3y-3+5z-4z-5y+5+3x+3=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\pi\equiv-x-2y+z+1=0\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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