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Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

Dadas las matrices

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & k \\
1 & 4 & k \\
0 & 5k & 1
\end{array}
\right)\quad;\quad X=\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)\quad\text{y}\quad O=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)\]

se pide:

a) Calcula, en función del parámetro \(k\in\mathbb{R}\), el rango de la matriz \(A\).

b) ¿Existe algún valor de \(k\in\mathbb{R}\) para el cual el sistema \(A\cdot X=O\) sea incompatible?

c) ¿Para qué valores de \(k\in\mathbb{R}\) el sistema \(A\cdot X=O\) es compatible indeterminado?

La solución aquí

La solución aquí

Antes de comenzar con la solución al ejercicio, se recomienda repasar la parte teórica correspondiente al concepto de rango de una matriz, el cálculo del rango de una matriz usando determinantes y el Teorema de Rouché-Frobenius para la discusión de sistemas de ecuaciones lineales.

a) Puesto que la matriz es de orden \(3\times4\) el rango es a los sumo \(3\). Además se tiene que \(\left|\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{array}
\right|=3-(-2)=5\neq0\), con lo que la matriz \(A\) tiene un menor de orden \(2\) distinto de cero. Esto quiere decir que el rango es al menos \(2\). Estudiemos ahora los dos determinantes que contienen al menor anterior.

\[\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & k \\
1 & 4 & k
\end{array}
\right|=(3k-k)-(-2k+4k)=2k-2k=0\]

\[\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & k \\
0 & 5k & 1
\end{array}
\right|3-(-2+5k^2)=5-5k^2\]

Es fácil darse cuenta de que ambos son simultáneamente cero cuando \(k=-1\) o \(k=1\). Por tanto, deducimos lo siguiente:

  • Si \(k=-1\) o \(k=1\) el rango de \(A\) es \(2\).
  • Si \(k\neq-1\) y \(k\neq1\) el rango de \(A\) es \(3\).

b) El sistema \(A\cdot X=O\) es homogéneo. Por tanto, \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) es una solución del sistema. Así pues, no existe ningún valor de \(k\in\mathbb{R}\) para el cual el sistema \(A\cdot X=O\) sea incompatible.

c) El número de incógnitas de este sistema es \(n=3\). La matriz ampliada del sistema es la matriz \(A\) añadiendo una columna de ceros, con lo que el rango de la matriz ampliada y el de la matriz \(A\) es el mismo. Para \(k=-1\) o \(k=1\) tenemos \(\text{rango}A=2<3=n\). Según el teorema de Rouché, esto quiere decir que el sistema es compatible indeterminado si \(k=-1\) o \(k=1\).

 

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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