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Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

Calcula la integral definida

\[\int_0^1(x^2+x+1)e^{-x}dx\]

La solución aquí

La solución aquí

Realicemos primero, usando el método de integración por partes, la integral indefinida.

\[\int(x^2+x+1)e^{-x}dx=\left[\begin{array}{cc}
u=x^2+x+1&dv=e^x \\
du=(2x+1)dx&v=e^x
\end{array}\right]=\]

\[=(x^2+x+1)e^x-\int(2x+1)e^xdx=(\ast)\]

Volviendo a aplicar el método de integración por partes en la última integral

\[(\ast)=\left[\begin{array}{cc}
u=2x+1&dv=e^x \\
du=2dx&v=e^x
\end{array}\right]=(x^2+x+1)e^x-\left((2x+1)e^x-\int2e^xdx\right)=\]

\[=x^2e^x+xe^x+e^x-2xe^x-e^x+2e^x+C=\]

\[=x^2e^x-xe^x+2e^x+C=(x^2-x+2)e^x+C\]

Usemos ahora la regla de Barrow para resolver la integral definida.

\[\int_0^1(x^2+x+1)e^{-x}dx= \left.(x^2-x+2)e^x\right]_0^1=2e-2\]

La integral definida que se ha calculado representa el área del recinto encerrado entre la gráfica de la función y las rectas verticales \(x=0\) (el eje \(Y\)) y \(x=1\). Lo puedes ver en la figura siguiente.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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