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Acceso Universidad Matemáticas II – Continuidad y derivadas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

a) Calcula los valores de los parámetros \(a,b\in\mathbb{R}\) para que la función

\[f(x)=\begin{cases}
x^2-2x+a\quad \text{si}\quad x\leq0\\
x^2+be^x+3\quad\text{si}\quad x>0
\end{cases}\]

sea continua y derivable en \(x=0\). [1,5 puntos]

b) Para los valores de \(a\) y \(b\) encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=0\). [1 punto]

La solución aquí

La solución aquí

a) Estudiemos la continuidad de \(f\) en \(x=0\).

\[\begin{cases}
\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2-2x+a)=a\\
\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x^2+be^x+3)=b+3
\end{cases}\]

Por tanto, como también \(f(0)=a\), para que \(f\) sea continua en \(x=0\) se ha de cumplir, por un lado, que \(a=b+3\).

Estudiemos ahora la derivabilidad de \(f\) en \(x=0\). Salvo en este punto la función derivada es

\[f'(x)=\begin{cases}
2x-2\quad\text{si}\quad x<0\\
2x+be^x\quad\text{si}\quad x>0
\end{cases}\]

Por tanto las derivadas laterales en \(x=0\) son:

\[\begin{cases}
\displaystyle f’_-(0)=\lim_{x\rightarrow0^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}(2x-2)=-2\\
\displaystyle f’_+(0)=\lim_{x\rightarrow0^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow0^+}(2x+be^x)=b
\end{cases}\]

De aquí se deduce, por otro lado, que \(b=-2\) y sustituyendo en \(a=b+3\) deducimos también que \(a=1\).

b) La imagen en \(x=0\) es \(f(0)=a=1\) y la derivada en \(x=0\) es \(f'(0)=b=-2\). Por tanto, la recta tangente en el punto de abscisa \(x=0\) es

\[y-f(0)=f'(0)(x-0)\Rightarrow y-1=-2x\Rightarrow y=-2x+1\]

En la siguiente figura se puede apreciar la gráfica de la función (en rojo) y la recta tangente en \(x=0\) (en verde).

Obsérvese como en las cercanías de \(x=0\) la recta tangente se confunde con la gráfica de la función.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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